統計学 学習ノート

はじめに

「関連あり」の先に、強さ・度数・場所の問いが残る

「関連があるのは分かった。で、どのくらい強いの？」

2級で学んだカイ二乗検定は、クロス表の2つの変数に関連があるかどうかを教えてくれました。でも、検定の結果を見ると、次の疑問が次々に出てきます。関連の強さはどのくらいなのか。表のどのマスが効いているのか。そして、人数が少ないときも同じ検定を使ってよいのか。

例えば、8人ずつの2つのクラスで合格者を比べたとしましょう。期待度数が5より小さいマスが出て、カイ二乗検定の近似はあてになりません。健康診断の結果が「異常あり」だけでは、どこがどのくらい悪いのかが分からず、次の手が打てないのと同じです。

実は、分割表を読むための道具は、この3つの問いに1つずつ答えるようにそろっています。なお、分割表 とは、質的変数を組み合わせた度数の表のことで、2級で学んだクロス表と同じものです。

そこで登場するのが、今回の主役 オッズ比、正確検定、連関係数、残差分析 です。

前回の記事では、時系列解析を学びました。今回の記事では、話をクロス表に戻して、関連の強さの測り方、少ない度数での検定、関連の場所の見つけ方について解説します。

オッズ比：関連の強さを比で測る

オッズの比は4だが、合格しやすさが4倍なのではない

はじめに、2×2の表で最もよく使うオッズ比について解説します。

オッズ（odds） は、ある事象が起こる確率と、起こらない確率の比です。

$$\text{オッズ} = \frac{p}{1 - p}$$

競馬の賭けで聞く言葉です。例えば、$p = 0.8$ ならオッズは $0.8 \div 0.2 = 4$ で、「起こる : 起こらない = 4 : 1」という意味です。

2×2の表の各マスを、次のように $a, b, c, d$ と書きます。

	事象あり	事象なし
群1	$a$	$b$
群2	$c$	$d$

2つの群のオッズの比が、オッズ比（odds ratio） です。

$$\text{OR} = \frac{a/b}{c/d} = \frac{ad}{bc}$$

言葉で言うと、たすき掛けの比です。読み方は次のとおりです。

【オッズ比の読み方】

• OR = 1： 2つの変数は独立
• OR > 1： 群1のほうが事象が起こりやすい
• OR < 1： 群1のほうが事象が起こりにくい

具体的に見てみましょう。朝の復習をしたかどうかと、試験の合否を調べました。

	合格	不合格	計
復習した	40	10	50
復習しない	25	25	50

オッズ比は (40 × 25) ÷ (10 × 25) = 4 です。一方で、合格率の比である 相対リスク（リスク比） は、0.8 ÷ 0.5 = 1.6 です。

ここが間違えやすいところです。オッズ比が4だからといって、「4倍合格しやすい」とは言えません。合格率で見れば1.6倍です。2つが近い値になるのは、事象がまれなときだけです。

では、なぜ分かりにくいオッズ比を使うのでしょうか？ 理由は3つあります。

【オッズ比が便利な理由】

1. 行と列を入れ替えても、値が変わらない
2. 行や列をまるごと定数倍しても、値が変わらない
3. ロジスティック回帰の係数の指数 $e^{\beta}$ がオッズ比になる

特に大切なのが2つ目です。これが効くのが、症例対照研究 です。まれな病気を調べるとき、全員を追跡する代わりに、病気の人を集め、健康な人を一部だけ選んで過去を調べる方法です。

例えば、ある集団を追跡すると、次のようになるとします。

	発症	非発症	計
喫煙あり	80	920	1,000
喫煙なし	40	1,960	2,000

相対リスクは 0.08 ÷ 0.02 = 4、オッズ比は約4.26です。ここから、非発症の人を1割だけ選ぶと、非発症の列は92と196になります。このとき、オッズ比は (80 × 196) ÷ (92 × 40) ≈ 4.26 のままです。ところが、この表で発症率の比を計算すると、(80 ÷ 172) ÷ (40 ÷ 236) ≈ 2.74 と、大きくズレてしまいます。集め方で発症率は変わりますが、オッズ比は変わらないのです。

次に、オッズ比の信頼区間です。オッズ比そのものは分布が右に歪むので、対数をとります。漸近理論の記事で学んだデルタ法を使うと、対数オッズ比の標準誤差は次の式です。

$$\text{SE}(\log\text{OR}) = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}$$

例題：オッズ比の信頼区間

朝の復習の表について、オッズ比の95%信頼区間を求めましょう。

【解き方】

1. 対数をとる： $\log 4 \approx 1.386$
2. 標準誤差： $\sqrt{1/40 + 1/10 + 1/25 + 1/25} = \sqrt{0.205} \approx 0.453$
3. 対数の区間： $1.386 \pm 1.96 \times 0.453$ より、0.499 から 2.274
4. 指数で元に戻す： $e^{0.499} \approx 1.65$、$e^{2.274} \approx 9.72$

答えは 1.65 から 9.72 です。区間が1を含まないので、有意水準5%で「関連なし」は棄却されます。区間が4の左右で非対称なことにも注目しましょう。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： マスに0があるとオッズ比は計算できません。その場合は、全マスに0.5を足して計算することがあります。また、オッズ比を −1 から1に直した $Q = (\text{OR} - 1)/(\text{OR} + 1)$ を、ユールの連関係数と言います。OR = 4 なら $Q = 0.6$ です。

試験のポイント：オッズ比は $ad/bc$ です。相対リスクとの違いと、症例対照研究ではオッズ比しか使えないことが問われます。

以上が、オッズ比についての解説です。

正確検定：小さな表は全部数える

周辺を固定したくじ引きなら、確率を全部数えられる

次に、度数が少ないときの正確検定について説明します。

2級で学んだように、カイ二乗検定はカイ二乗分布への近似を使うので、期待度数が5以上が目安でした。度数が少ないと、近似があてになりません。天秤の目盛りが粗いのに、小数点以下まで読むようなものです。

そこで、近似を使わず、確率を直接計算します。これが 正確検定（exact test） で、2×2の表では フィッシャーの正確検定 と呼びます。

発想は、次のとおりです。行の合計と列の合計を固定して考えます。例えば、Aクラス8人とBクラス8人の16人のうち、9人が合格したとします。関連がないなら、合格者の9枚の札を16人にランダムに配ったのと同じです。このくじ引きで、Aクラスに $a$ 枚入る確率は、組合せで数えられます。

$$P(a) = \frac{\dbinom{a+b}{a}\dbinom{c+d}{c}}{\dbinom{n}{a+c}}$$

これは、離散型分布の記事で学んだ 超幾何分布 です。周辺の合計を固定すると、未知の合格率が式から消えます。そのため、母数を推定せずに正確な確率が求まるのです。

$p$ 値は、観測した表と同じか、それより極端な表の確率の合計です。両側検定では、観測した表の確率以下の確率をもつ表をすべて足す方法がよく使われます。

例題：フィッシャーの正確検定

2つのクラスの合否が、次のようでした。合否とクラスに関連があるかを検定しましょう。

	合格	不合格	計
Aクラス	7	1	8
Bクラス	2	6	8
計	9	7	16

【解き方】

1. 期待度数の最小は 8 × 7 ÷ 16 = 3.5 で、5より小さいので正確検定を使う
2. 分母： $\binom{16}{9} = 11{,}440$
3. $a$ が取りうる値は1から8で、分子は $\binom{8}{a}\binom{8}{9-a}$ で計算する
4. 片側の $p$ 値： $a = 7$ の分子は 8 × 28 = 224、$a = 8$ の分子は 1 × 8 = 8 で、(224 + 8) ÷ 11,440 ≈ 0.0203
5. 両側の $p$ 値： $a = 1, 2$ の確率も224以下の分子をもつので足す。464 ÷ 11,440 ≈ 0.0406

答えは、両側の $p$ 値が約0.041で、有意水準5%で棄却されます。

$a$	1	2	3	4	5	6	7	8
分子	8	224	1,568	3,920	3,920	1,568	224	8

比べてみましょう。同じ表でカイ二乗検定を行うと、$\chi^2 \approx 6.35$ で $p \approx 0.012$ です。イェーツの補正をかけると、$\chi^2 \approx 4.06$ で $p \approx 0.044$ です。近似のままだと $p$ 値を3分の1ほどに小さく見積もることが分かります。

ただし、正確検定にも性質の癖があります。$p$ 値が飛び飛びの値しかとらないので、実際の第一種の過誤の確率は、名目の有意水準より小さくなりがちです。これを 保守的 と言います。

試験のポイント：正確検定は、周辺度数を固定した超幾何分布にもとづきます。期待度数が小さいときに使います。

以上が、正確検定についての説明です。

連関係数とファイ係数：関連の強さを0から1で表す

大鍋にしても濃さは同じ。χ²は増えるがφは変わらない

続いて、関連の強さを1つの数で表す係数について解説します。

カイ二乗統計量は、関連の強さそのものではありません。$n$ を10倍すると $\chi^2$ も10倍になるからです。同じ味のスープを大鍋で作っても、味の濃さは変わりませんよね。そこで、$n$ の影響を取り除いた「濃度」を測ります。これが 連関係数 です。

1. ファイ係数

2×2の表で使うのが、ファイ係数 です。

$$\phi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}$$

分子は、たすき掛けの差です。実は、2つの変数を0と1で表したときの相関係数が、ファイ係数そのものです。3級で学んだ相関係数を2×2の表に当てはめた形なのです。カイ二乗統計量とは、次の関係があります。

$$\chi^2 = n\phi^2$$

朝の復習の表で計算してみましょう。分子は 40 × 25 − 10 × 25 = 750、分母は $\sqrt{50 \times 50 \times 65 \times 35} \approx 2{,}385$ です。したがって、$\phi \approx 0.314$ です。$\chi^2 = 100 \times 0.314^2 \approx 9.89$ で、公式で求めた値と一致します。

ただし、ファイ係数には弱点があります。周辺の比率が違うと、1まで届きません。この表の周辺のもとでは、最大でも $a = 50,\ b = 0,\ c = 15,\ d = 35$ のときの約0.73です。縦と横で比率が違えば、2変数は完全には一致できないからです。

2. ピアソンの連関係数とクラメールの連関係数

2×2より大きな表には、次の2つの係数を使います。行数と列数の小さいほうを $k$ とします。

$$C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}}, \qquad V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}}$$

$C$ を ピアソンの連関係数（コンティンジェンシー係数）、$V$ を クラメールの連関係数（クラメールのV）と言います。

$C$ は独立のとき0ですが、最大値は $\sqrt{(k-1)/k}$ で、1には届きません。例えば、3×3の表なら約0.816です。大きさの違う表を $C$ で比べられないのは、この弱点のためです。

一方で、$V$ は最大値が1にそろっています。2×2の表では $k = 2$ なので、$V = |\phi|$ です。表の大きさをまたいで比べるなら、$V$ が便利です。

例題：連関係数を計算する

対応分析の記事で使った、年代と好きなラーメンの味の3×3の表（$n = 300$）では、$\chi^2 = 21.5$ でした。$C$ と $V$ を求めましょう。

【解き方】

1. ピアソンの連関係数： $C = \sqrt{21.5 \div 321.5} \approx 0.259$
2. $k = 3$ なので、クラメールの連関係数： $V = \sqrt{21.5 \div (300 \times 2)} \approx 0.189$

答えは $C \approx 0.259$、$V \approx 0.189$ です。検定では $p \approx 0.0003$ と強く有意ですが、$V$ は0.2に届きません。「確かに関連はあるが、強くはない」という読み方になります。有意かどうかと、強いかどうかは別の話です。

以上が、連関係数とファイ係数についての解説です。

残差分析：どのマスが効いているのかを探す

調整済み標準化残差で、ズレの大きいマスを見つける

最後に、関連の場所を突き止める残差分析を見ていきましょう。

カイ二乗検定で棄却されても、表全体のどこかにズレがあると分かっただけです。マスが9個もあると、どこが原因かは分かりません。そこで、マスごとにズレを点検します。これが 残差分析 です。警報が鳴った建物で、部屋を1つずつ確かめて回るイメージです。

まず、ピアソン残差を考えます。

$$e_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}$$

$O_{ij}$ は観測度数、$E_{ij}$ は期待度数です。全マスで2乗して足すと、ちょうど $\chi^2$ になります。つまり、$e_{ij}^2$ は「$\chi^2$ のうち、そのマスが占める分」です。

ただし、$e_{ij}$ の分散は1より小さいので、そのまま標準正規分布の値と比べられません。そこで、周辺の比率で割り直します。これが 調整済み標準化残差 です。

$$d_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}\left(1 - \dfrac{r_i}{n}\right)\left(1 - \dfrac{c_j}{n}\right)}}$$

$r_i$ は行の合計、$c_j$ は列の合計です。独立のとき、$d_{ij}$ は近似的に標準正規分布に従います。したがって、$|d_{ij}| > 1.96$ のマスが、有意水準5%で「期待からズレている」マスです。正なら期待より多く、負なら期待より少ないと読みます。

例題：調整済み標準化残差を求める

年代と味の表で、10代・豚骨のマスの残差を求めましょう。観測度数は50、行の合計は100、列の合計は100です。

【解き方】

1. 期待度数： 100 × 100 ÷ 300 ≈ 33.33
2. ピアソン残差： $(50 - 33.33) \div \sqrt{33.33} \approx 2.89$
3. 周辺の比率： $1 - 100/300 = 2/3$ が行と列で2つ
4. 調整済み標準化残差： $16.67 \div \sqrt{33.33 \times (2/3) \times (2/3)} \approx 4.33$

答えは約4.33です。1.96を大きく超えるので、10代の豚骨好きは期待より明らかに多いと言えます。全マスを計算すると、次のようになります。

	醤油	味噌	豚骨
10代	−2.50	−1.85	4.33
20代	0.00	0.92	−0.87
30代	2.50	0.92	−3.46

読み取りましょう。関連を生んでいるのは、10代の豚骨好きと醤油離れ、30代の醤油好きと豚骨離れです。20代の行は、どのマスも期待どおりです。対応分析の地図で読んだ「10代と豚骨、30代と醤油」が、ここでは数字で確かめられました。

ここで1つ注意です。9マスを同時に見るので、検定を9回行っているのと同じです。多重比較の問題が起こります。厳しめに見るなら、ボンフェローニ法で1マスあたり 0.05 ÷ 9 の水準を使います。すると境界は約2.77になり、±2.50 のマスは有意ではなくなります。

試験のポイント：検定で棄却された後に、どのマスが原因かを調べるのが残差分析です。調整済み標準化残差を、標準正規分布の値（1.96など）と比べます。

以上が、残差分析についての解説です。

細かい式を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「強さはオッズ比と連関係数、少ない度数は正確検定、場所は残差分析」という役割分担だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

強さ、少ない度数、場所に、それぞれの道具で答える

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、2級のカイ二乗検定の「その先」にある、分割表の読み方について紹介しました。検定の答えは「関連があるか、ないか」の二択です。オッズ比と連関係数は「どのくらいか」を、正確検定は「少ない度数でも確かか」を、残差分析は「どこにあるか」を教えてくれます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• オッズ比は $ad/bc$ で、1なら独立。集め方に左右されないので、症例対照研究で使える。相対リスクとは別の量。
• 対数オッズ比の標準誤差は $\sqrt{1/a + 1/b + 1/c + 1/d}$ で、対数の世界で信頼区間を作る。
• 正確検定は周辺を固定したくじ引き。超幾何分布で確率を直接計算する。
• ファイ係数は0と1の相関係数で、$\chi^2 = n\phi^2$。ピアソンの $C$ は1に届かず、クラメールの $V$ は1にそろっている。
• 残差分析は部屋の点検。調整済み標準化残差を1.96と比べる。

キーワードのおさらい

• オッズ比: 2つの群のオッズの比。2×2の表では $ad/bc$
• 正確検定: 近似を使わず、周辺を固定した分布で確率を直接求める検定
• 連関係数: 質的変数の関連の強さを表す係数。ピアソンの $C$、クラメールの $V$ など
• ファイ係数: 2×2の表の関連を表す係数。0と1で表した変数の相関係数
• 残差分析: マスごとの観測度数と期待度数のズレを調べて、関連の場所を探すこと

さて、今回は2つの変数の表でした。でも、「性別」「年代」「購入」のように、3つ以上の質的変数が絡むと、関連の形はぐっと複雑になります。2変数の関連が、第3の変数で説明できることもありましたね。

次回は、分割表の関連をモデルで表す「対数線形モデル」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。