統計学 学習ノート

はじめに

何回外しても、ガチャの当たる確率は10%のまま

「5回連続で外れたんだから、次こそ当たるはず！」

当たる確率が10%のガチャを続けて外すと、そろそろ順番が回ってくる気がしてきます。こう感じたことがある人は多いのではないでしょうか？

実は、この感覚はまちがいです。毎回同じ条件で引くのなら、何回外したあとでも、次に当たる確率は10%のままです。ガチャは、あなたが何回外したかを覚えていません。

一方で、情報が増えると確率が変わる場面もあります。例えば、朝の空が真っ黒な雲に覆われていると知ったら、雨が降る確率は、何も知らないときより高く見積もりますよね。

そこで登場するのが、今回の主役 独立な試行 と 条件付き確率 です。前者は「前の結果に左右されない」場面の道具で、後者は「情報が増えて確率が変わる」場面の道具です。

前回の記事では、回帰直線で予測をしても、残差というズレが残ることを見ました。今回の記事では、偶然を数字で扱う確率について、基本のルールから独立な試行、条件付き確率まで解説します。

確率の基本：足し算と引き算のルール

足すと重なりを2回数えるので、その分を1回引く

はじめに、4級で学んだ確率を思い出しながら、基本のルールについて解説します。

4級では、確率を「起こる場合の数 ÷ 全部の場合の数」と学びました。サイコロを1回振って偶数の目が出る確率は、3 ÷ 6 = 1/2 です。

ここで用語を整えておきます。サイコロを振るように、同じ条件でくり返せる実験や観察を 試行 と言います。試行の結果として起こることがらを 事象 と言い、事象 $A$ の確率を $P(A)$ と書きます。確率は必ず0以上1以下の値です。

計算のルールを2つ見ていきましょう。

1. 余事象：起こらない確率

事象 $A$ が起こらないという事象を、$A$ の 余事象 と言い、$\bar{A}$ と書きます。

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

言葉で言うと、「起こらない確率 = 1 − 起こる確率」です。例えば、降水確率が30%なら、雨が降らない確率は 1 − 0.3 = 0.7 で、70%です。

2. 加法定理：AまたはBの確率

「$A$ または $B$ が起こる」確率は、次の式で求めます。

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

$A \cup B$ は「$A$ または $B$」、$A \cap B$ は「$A$ かつ $B$」を表します。2つの確率を足すと、両方に当てはまる部分を二重に数えてしまうので、その分を1回引きます。クラスの名簿で、サッカー好きと野球好きを足すと、両方好きな人が2回数えられるのと同じです。

具体的に見てみましょう。1から20までの番号のカードから1枚引きます。2の倍数は10枚、3の倍数は6枚、両方に当てはまる6の倍数は3枚です。したがって、2の倍数または3の倍数を引く確率は、次のようになります。

$$\frac{10}{20} + \frac{6}{20} - \frac{3}{20} = \frac{13}{20}$$

なお、サイコロの「1の目」と「2の目」のように同時には起こらない関係を 排反 と言います。排反なら $P(A \cap B) = 0$ なので、そのまま足すだけで済みます。

以上が、確率の基本ルールについての解説です。

独立な試行：前の結果を覚えていない

記憶のない試行は、それぞれの確率を掛け算する

次に、独立な試行について説明します。

2つの試行の結果が、互いの確率に影響しないとき、これらを 独立な試行 と言います。要するに、「前の結果を覚えていない」試行です。コインを投げて表が出ても、次のコインはそれを知りません。コインには記憶がないのです。

独立な試行では、「$A$ かつ $B$」の確率を掛け算で求められます。

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

言葉で言うと、「続けて起こる確率 = それぞれの確率の掛け算」です。

例えば、コインを投げて表が出て、さらにサイコロを振って6が出る確率を考えましょう。コインとサイコロは互いに影響しないので、1/2 × 1/6 = 1/12 です。全部の組み合わせは 2 × 6 = 12 通りで、そのうちの1通りですから、数えても同じ答えになります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。成功率0.7のフリースローを2本打ち、毎回の結果が独立だとします。2本とも成功する確率は 0.7 × 0.7 = 0.49 です。

では、冒頭のガチャに戻りましょう。当たる確率10%のガチャを5回続けて外す確率は、0.9を5回掛けて約0.59です。5回外すこと自体は、半分以上の確率で起こる、ごく普通の出来事なのです。そして、6回目に当たる確率は、それまでの結果に関係なく0.1のままです。

「そろそろ当たるはず」という思い込みは、独立な試行を忘れたときに生まれます。

例題：少なくとも1回当たる確率

当たる確率10%のガチャを、独立に3回引きます。少なくとも1回当たる確率を求めましょう。

【解き方】

1. 「少なくとも1回当たる」の余事象は「3回とも外れる」
2. 3回とも外れる確率を掛け算で求める： 0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.729
3. 余事象のルールで引く： 1 − 0.729 = 0.271

答えは0.271です。0.1 × 3 = 0.3 としてしまうのが、よくある間違いです。「1回目も3回目も当たる」場合を二重に数えているからです。

試験のポイント：「少なくとも1回」と書かれていたら、余事象を使って「1 − すべて起こらない確率」で計算します。

以上が、独立な試行についての説明です。

条件付き確率：情報が増えると確率が変わる

光を運動部に絞ると、分母は60人になる

続いて、条件付き確率について解説します。

事象 $A$ が起こったと分かったうえで、事象 $B$ が起こる確率を 条件付き確率 と言い、$P(B \mid A)$ と書きます。「$A$ のもとでの $B$ の確率」と読みます。

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

記号の意味は、分子が「$A$ かつ $B$」の確率、分母が「$A$」の確率です。言葉で言うと、「見る範囲を $A$ の中だけに絞って、その中で $B$ が占める割合」です。

舞台のスポットライトを想像してください。はじめは舞台全体を照らしていますが、「$A$ が起きた」と分かった瞬間に、光が $A$ の部分だけに絞られます。その光の中で $B$ の割合を見直すのが、条件付き確率です。

例題：クロス集計表から求める

ある学校の生徒100人について、部活動と朝食の習慣を調べました。

	朝食を食べる	朝食を食べない	計
運動部	48	12	60
文化部	24	16	40
計	72	28	100

1人を選んだとき、次の確率を求めましょう。

【解き方】

1. 朝食を食べる確率： 全体の100人が範囲なので、72 ÷ 100 = 0.72
2. 運動部と分かったときに朝食を食べる確率： 範囲を運動部の60人に絞るので、48 ÷ 60 = 0.8
3. 朝食を食べると分かったときに運動部である確率： 範囲を朝食を食べる72人に絞るので、48 ÷ 72 ≒ 0.67

2と3は、同じ48人を見ているのに、答えが違いますね。ここがポイントです。分母になるのは、「分かっている条件」のほうです。

つまり、$P(B \mid A)$ と $P(A \mid B)$ は別物です。せっかくなので、別の例も見てみましょう。「雨の日に傘を持っている確率」はほぼ1ですが、「傘を持っている日に雨が降っている確率」はそこまで高くありません。折りたたみ傘を毎日持ち歩く人もいるからです。

試験のポイント：表の問題では、「〜のうち」「〜と分かったとき」の部分が分母です。全体の人数で割らないように注意します。

以上が、条件付き確率についての解説です。

戻すか戻さないか：独立と条件付きの関係

戻さないと、2本目の確率は1本目の結果で変わる

最後に、独立と条件付き確率の関係を見ていきましょう。

条件付き確率の式を変形すると、次の 乗法定理 が得られます。

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$$

言葉で言うと、「$A$ が起こって、そのうえで $B$ が起こる」という順に掛け算します。

これを使う代表例が、くじ引きです。10本のうち3本が当たりのくじを、2本続けて引きます。

【2本とも当たる確率】

• 引いたくじを戻す場合： 3/10 × 3/10 = 9/100
• 引いたくじを戻さない場合： 3/10 × 2/9 = 1/15

戻す場合は、2本目も同じ状態から引くので、独立な試行です。一方、戻さない場合は、1本目が当たると残りは9本で、当たりは2本に減ります。2本目の確率が1本目の結果に左右されるので、独立ではありません。

ここから、独立の見分け方も分かります。

$$P(B \mid A) = P(B)$$

この式が成り立つとき、$A$ が起きたと知っても $B$ の確率は変わりません。これが、事象 $A$ と $B$ が 独立 であるということです。この式を乗法定理に入れると、独立のときの掛け算の式に戻ります。

先ほどの表で確かめましょう。朝食を食べる確率は全体で0.72、運動部に絞ると0.8でした。部活が分かると確率が変わるので、この2つの事象は独立ではありません。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 「排反」と「独立」は別の言葉です。排反は同時に起こらないこと、独立は互いの確率に影響しないことです。確率が0でない2つの事象が排反なら、一方が起こるともう一方は起こらなくなるので、独立にはなりません。

試験のポイント：「元に戻す」は独立なので同じ確率の掛け算、「元に戻さない」は残りの本数で確率を計算し直します。

以上が、独立と条件付き確率の関係についての説明です。

細かい式が分からなかったとしても問題ありません。ここでは、「独立なら掛け算、条件付きなら分母を絞る」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

または・独立・条件付きで、計算のしかたが変わる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は確率の基本ルールと、独立な試行、条件付き確率について紹介しました。ガチャの結果は前の回を覚えていませんが、くじを戻さなければ、残りの中身は変わります。確率を計算するときは、「前の結果が次に影響するかどうか」を最初に確かめることが大切です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 余事象のルールは「1 − 起こる確率」。「少なくとも1回」の問題で活躍する。
• 「または」は足して、両方に当てはまる部分を1回引く。
• 独立な試行はコインのように記憶がない。続けて起こる確率は掛け算で求める。
• 条件付き確率は、スポットライトを条件の部分に絞って割合を見ること。
• 分母は「分かっている条件」のほう。$P(B \mid A)$ と $P(A \mid B)$ は別物。

キーワードのおさらい

• 試行: 同じ条件でくり返せる実験や観察
• 事象: 試行の結果として起こることがら
• 余事象: ある事象が起こらないという事象
• 排反: 2つの事象が同時には起こらないこと
• 独立な試行: 結果が互いの確率に影響しない試行
• 条件付き確率: ある事象が起こったと分かったうえで、別の事象が起こる確率
• 乗法定理: $A$ かつ $B$ の確率を $P(A)$ と $P(B \mid A)$ の掛け算で求める式

さて、ここまでは「ある出来事が起こる確率」を1つずつ求めてきました。では、サイコロの目やシュートの成功回数のように、結果が数字で表せるとき、その数字全体の平均や散らばりは計算できるのでしょうか？

次回は、確率をデータのように扱う「確率変数」と、二項分布・正規分布について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。