統計学 学習ノート

はじめに

賞金は引くまで分からないが、平均は引く前に計算できる

「このくじ、1回引くと平均いくらもらえるの？」

お祭りのくじ引きを前にして、こう考えたことはありませんか？ 1等は500円、2等は100円、はずれは0円。賞金は引くまで分かりません。それでも、たくさん引いたときの平均なら、引く前に計算できそうです。

実は、確率が分かっていれば、まだ起きていない結果についても、データと同じように平均や標準偏差を計算できます。

そこで登場するのが、今回の主役 確率変数 と 確率分布 です。これまでデータで学んだ平均や分散を、確率の世界に持ち込む道具です。

前回の記事では、独立な試行と条件付き確率を学びました。今回の記事では、確率変数の考え方と、統計学で最もよく使う2つの確率分布、二項分布 と 正規分布 について解説します。

確率変数：結果を数字で表す

平均は確率を重みにした釣り合いの位置。くじなら70円

はじめに、確率変数と確率分布について解説します。

確率変数 とは、試行の結果によって値が決まる変数です。サイコロの目のように、振るまで値は分かりませんが、どの値がどの確率で出るかは分かっています。ふつう、$X$ のように大文字で書きます。

値と確率の対応を 確率分布 と言います。くじの賞金表のようなものです。

賞金 $x$（円）	0	100	500
確率 $p$	0.7	0.2	0.1

確率をすべて足すと、必ず1になります。この表は、相対度数の表とよく似ていますね。実際、確率分布はデータの度数分布表の「確率版」です。そのため、確率変数の平均・分散・標準偏差も、データと同じ発想で求められます。

$$\mu = E(X) = \sum_{i} x_i p_i$$ $$\sigma^2 = V(X) = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 p_i$$

記号の意味は、$x_i$ が値、$p_i$ がその確率、$\mu$（ミュー）が平均、$\sigma^2$（シグマ2乗）が分散です。確率変数の平均は 期待値 とも呼びます。標準偏差 $\sigma$ は分散の平方根です。

言葉で言うと、平均は「値 × 確率を全部足したもの」、分散は「平均からのズレの2乗 × 確率を全部足したもの」です。確率を重みにして、ならしているのです。

例題：くじの平均と標準偏差

先ほどのくじの賞金について、平均、分散、標準偏差を求めましょう。

【解き方】

1. 平均： 0 × 0.7 + 100 × 0.2 + 500 × 0.1 = 70
2. 分散： 70² × 0.7 + 30² × 0.2 + 430² × 0.1 = 3,430 + 180 + 18,490 = 22,100
3. 標準偏差： $\sqrt{22100} \approx 148.7$

答えは、平均70円、分散22,100、標準偏差は約149円です。1回のくじの参加費が100円なら、平均では損をする計算ですね。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。サイコロの目 $X$ なら、平均は (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5 です。3.5という目はありませんが、たくさん振った平均がそこに近づくという意味です。

以上が、確率変数についての解説です。

二項分布：成功の回数を数える

成功率0.6で5本打つと、3本成功する確率は0.3456

次に、二項分布について説明します。

二項分布 は、「成功か失敗か」の独立な試行を $n$ 回くり返したときの、成功の回数 $X$ の分布です。成功の確率を $p$ として、$B(n, p)$ と書きます。フリースローを打つ、コインを投げる、くじを引く。どれも「回数を数える」場面です。

$X$ がちょうど $k$ になる確率は、次の式で求めます。

$$P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$$

記号の意味は次のとおりです。

【二項分布の式の中身】

• ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$: $n$ 回のうち、どの $k$ 回で成功するかの選び方の数
• $p^k$: $k$ 回成功する確率
• $(1-p)^{n-k}$: 残りの回が失敗する確率

具体的に見てみましょう。成功率0.6のフリースローを5本打って、ちょうど3本成功する確率を求めます。

5本のうち、どの3本が成功かの選び方は、${}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10$ 通りです。成功が3回で 0.6³ = 0.216、失敗が2回で 0.4² = 0.16 です。したがって、次のようになります。

$$P(X = 3) = 10 \times 0.216 \times 0.16 = 0.3456$$

さらに、二項分布の平均と分散は、公式で一気に求まります。

$$E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p)$$

言葉で言うと、平均は「回数 × 成功率」です。5本打って成功率0.6なら、平均は 5 × 0.6 = 3本で、直感どおりですよね。分散は 3 × 0.4 = 1.2 で、標準偏差は約1.10本です。

試験のポイント：二項分布が使えるのは、試行が独立で、成功の確率が毎回同じときです。平均 $np$、分散 $np(1-p)$ はそのまま覚えましょう。

以上が、二項分布についての説明です。

正規分布：左右対称のつりがね

標準偏差いくつ分かで、範囲に入る確率が決まる

続いて、正規分布について解説します。

正規分布 は、平均を中心に左右対称の、つりがねの形をした分布です。身長やテストの点数、製品の重さなど、たくさんの小さな偶然が積み重なって決まる値は、この形に近づきます。平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布を $N(\mu, \sigma^2)$ と書きます。

ここまでのサイコロや回数は、飛び飛びの値でした。一方、身長は連続した値をとります。そのため正規分布では、確率を「グラフの下の面積」で表します。全体の面積が1で、ある範囲の面積がその範囲に入る確率です。

大切なのは、標準偏差いくつ分離れているかで、面積が決まっていることです。

【正規分布の範囲と確率】

• 平均 ± 1σ の範囲： 約68%
• 平均 ± 2σ の範囲： 約95%
• 平均 ± 3σ の範囲： 約99.7%

実際の計算では、値を次の式で変換します。これを 標準化 と言います。

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

言葉で言うと、「平均から標準偏差いくつ分離れているか」です。偏差値と同じ考え方です。$Z$ は平均0、標準偏差1の 標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うので、どんな正規分布でも1枚の表で確率が読めます。

$z$	1.00	1.50	1.645	1.96	2.00	2.58
$z$ 以上になる確率	0.159	0.067	0.050	0.025	0.023	0.005

表の見方はシンプルです。上の段が $z$ の値、下の段が「$Z$ がそれ以上になる確率」で、これを上側確率と呼びます。

例題：正規分布の確率を求める

ある高校の男子の身長は、平均170cm、標準偏差6cmの正規分布に従うとします。179cm以上の生徒の割合を求めましょう。

【解き方】

1. 標準化する： $Z = (179 - 170) \div 6 = 1.5$
2. 表から $z = 1.50$ の値を読む： 0.067

答えは約6.7%です。

せっかくなので、逆向きも考えてみましょう。平均より低い側は、左右対称を使います。164cm以下は $Z = -1$ なので、$Z$ が1以上になる確率と同じ0.159です。

試験のポイント：正規分布の問題は、まず標準化して $Z$ に直します。$Z = 1.96$ より外側が片側2.5%ずつ、合わせて5%という値は、この先の推定と検定で何度も使います。

以上が、正規分布についての解説です。

二項分布の正規近似

回数が増えると、二項分布はつりがねに近づく

最後に、二項分布と正規分布をつなぐ話を見ていきましょう。

二項分布の $n$ を大きくしていくと、棒グラフの形はだんだんと左右対称のつりがねに近づきます。これを利用して、$n$ が大きい二項分布を正規分布で置き換えることを 二項分布の正規近似 と言います。

$$B(n, p) \approx N(np, \ np(1-p))$$

言葉で言うと、「同じ平均と同じ分散を持つ正規分布で代用する」ということです。

なぜ代用するのでしょうか？ コインを100回投げて、表が60回以上出る確率を二項分布の式で求めようとすると、60回から100回まで41個の確率を足すことになります。これは手で計算できません。遠くの町まで1歩ずつ数えて歩かず、地図で距離を読むようなものです。

具体的に見てみましょう。平均は 100 × 0.5 = 50、分散は 100 × 0.5 × 0.5 = 25 なので、標準偏差は5です。標準化すると $Z = (60 - 50) \div 5 = 2$ で、表から約0.023と求まります。

例題：正規近似で確率を求める

ある商品の購入者の20%が、リピーターになるとします。400人の購入者のうち、リピーターが92人以上になる確率を、正規近似で求めましょう。

【解き方】

1. 平均を求める： 400 × 0.2 = 80
2. 標準偏差を求める： $\sqrt{400 \times 0.2 \times 0.8} = \sqrt{64} = 8$
3. 標準化する： $Z = (92 - 80) \div 8 = 1.5$
4. 表から読む： 0.067

答えは約0.067です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 正規近似は「近似」なので、正確な値とは少しズレます。コインの例の正確な値は約0.028です。このズレを小さくする連続修正という工夫は、2級で学びます。

以上が、二項分布の正規近似についての説明です。

細かい式を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「回数は二項分布、連続した値は正規分布、$n$ が大きければ二項分布は正規分布で近似できる」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

確率分布は値と確率の表。回数は二項、連続は正規

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は確率変数と、二項分布・正規分布について紹介しました。確率分布は、まだ起きていない結果の度数分布表のようなものです。この表さえあれば、データと同じように平均や標準偏差を語れます。そして、どんな正規分布も、標準化すれば1枚の表で読めるようになります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 確率分布はくじの賞金表。平均は「値 × 確率」の合計で求める。
• 分散は「平均からのズレの2乗 × 確率」の合計で、標準偏差はその平方根。
• 二項分布は成功の回数の分布で、平均 $np$、分散 $np(1-p)$。
• 正規分布は左右対称のつりがね。標準化すると1枚の表で確率が読める。
• $n$ が大きい二項分布は、同じ平均・分散の正規分布で近似できる。

キーワードのおさらい

• 確率変数: 試行の結果によって値が決まる変数
• 確率分布: 確率変数の値と確率の対応
• 期待値: 確率変数の平均
• 二項分布: 独立な試行を $n$ 回くり返したときの成功回数の分布
• 正規分布: 平均を中心に左右対称の、つりがね形の分布
• 標準化: 平均を引いて標準偏差で割る変換
• 標準正規分布: 平均0、標準偏差1の正規分布
• 二項分布の正規近似: $n$ が大きい二項分布を正規分布で置き換えること

さて、確率分布の道具がそろいました。いよいよ、これを統計調査に使います。同じ調査をやり直すと、標本の平均は毎回少しずつ変わるはずです。では、そのばらつきはどれくらいなのでしょうか？

次回は、標本から計算した値のばらつきを表す「標本分布」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。