統計学 学習ノート

はじめに

1つずつ変えると、高温・短時間の85点を見逃す

「条件を1つずつ変えて試せば、最高の組み合わせが見つかるんじゃないの？」

例えば、ケーキの焼き方を調べるとしましょう。いつもの「低温・短時間」は60点でした。温度は低温のまま時間だけ長くすると75点に上がったので、時間は「長」に決めます。次に、時間を長のまま温度を上げると55点に下がったので、温度は「低」に決めます。こうして、「低温・長時間」の75点が最高だと結論しました。

でも、試していない組み合わせが1つ残っています。実は、「高温・短時間」は85点だったのです。温度の効き方が時間によって変わるとき、1つずつ変える方法では最高の組み合わせを見逃します。

そこで登場するのが、今回の主役 実験計画法 です。実験計画法とは、限られた回数の実験から、知りたい効果を正しく、効率よく取り出すように、実験の組み方を設計する方法です。その結果を読む道具が 分散分析 です。

前回の記事では、生存時間とニューラルネットワークを学び、回帰の話題を終えました。今回の記事では、2級で学んだ分散分析を構造模型から読み直し、2元配置と交互作用、乱塊法とブロック計画、一部実施要因計画と直交配列まで解説します。

1元配置：分散分析表を構造模型から読み直す

F比は「物差し＋効果」と物差しの比

はじめに、実験計画の土台と1元配置について解説します。

2級で学んだ フィッシャーの三原則 を思い出しましょう。

【フィッシャーの三原則】

1. 反復： 同じ条件を繰り返す。誤差の大きさを見積もるため
2. 無作為化： 実験の順序や割り当てをくじで決める。偏りを誤差に変えるため
3. 局所管理： 似た条件をまとめて、その中で比べる。ノイズを減らすため

局所管理の代表が、ブロック化 です。これは後で詳しく見ます。

さて、因子が1つで、$a$ 個の水準をそれぞれ $r$ 回ずつ繰り返す実験が 1元配置 です。2級では「群間変動と群内変動に分ける」と学びました。準1級では、これをモデルの式で書きます。

$$y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}, \qquad \sum_{i=1}^{a} \alpha_i = 0, \qquad \varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$

$y_{ij}$ は $i$ 番目の水準の $j$ 回目の値、$\mu$ は全体の平均、$\alpha_i$ は水準の効果、$\varepsilon_{ij}$ は互いに独立な誤差です。検定したいのは $H_0: \alpha_1 = \dots = \alpha_a = 0$ です。

全体の平方和 $S_T$ は、水準の平方和 $S_A$ と誤差の平方和 $S_E$ に分かれます。

$$\underbrace{\sum_{i,j} (y_{ij} - \bar{y})^2}_{S_T} = \underbrace{r\sum_{i} (\bar{y}_{i} - \bar{y})^2}_{S_A} + \underbrace{\sum_{i,j} (y_{ij} - \bar{y}_{i})^2}_{S_E}$$

$\bar{y}_i$ は水準ごとの平均、$\bar{y}$ は全体の平均です。

この分解を表にしたものが 分散分析表 です。ここで、なぜ $F$ 比で検定できるのでしょうか？ 水準の平均平方（平方和を自由度で割ったもの）を $V_A$、誤差の平均平方を $V_E$ として、それぞれの期待値を見ると分かります。$\bar{y}_i - \bar{y} = \alpha_i + (\bar{\varepsilon}_i - \bar{\varepsilon})$ を2乗して期待値をとると、次の式になります。

$$E[V_A] = \sigma^2 + \frac{r \sum_i \alpha_i^2}{a - 1}, \qquad E[V_E] = \sigma^2$$

言葉で言うと、$V_E$ はつねに誤差の分散を見積もります。一方で、$V_A$ は効果があるぶんだけ大きくなります。綱引きの審判に例えると、$V_E$ は基準の物差しで、$V_A$ は「物差し + 効果」です。$H_0$ が正しければ比はおよそ1になり、効果があれば1より大きくなります。効果があるときの $F$ 比は、前に学んだ非心F分布に従います。

例題：1元配置の分散分析表を作る

3種類の肥料で、4鉢ずつの収量を測りました。

肥料	収量	平均
A	12, 14, 13, 17	14
B	16, 18, 15, 19	17
C	20, 19, 22, 19	20

分散分析表を作って、有意水準5%で検定しましょう。$F_{0.05}(2, 9) = 4.26$ です。

【解き方】

1. 全体の平均は17なので、$S_A = 4 \times (9 + 0 + 9) = 72$
2. 水準の中の偏差を2乗して足すと、$S_E = 14 + 10 + 6 = 30$
3. 自由度は $a - 1 = 2$、$a(r - 1) = 9$
4. 表にまとめる

要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 比
肥料	72	2	36	10.8
誤差	30	9	3.33
全体	102	11

$10.8 > 4.26$ なので、$H_0$ を棄却します。答えは、肥料によって収量に差がある、です。

以上が、1元配置についての解説です。

2元配置と交互作用：組み合わせの効果を調べる

水やりが多いほど肥料の差が広がるのが、交互作用

次に、因子が2つの実験について説明します。

因子 $A$（$a$ 水準）と因子 $B$（$b$ 水準）のすべての組み合わせで、$r$ 回ずつ実験するのが 2元配置 です。ここで主役になるのが 交互作用 です。交互作用とは、一方の因子の効果が、もう一方の因子の水準によって変わることです。

薬の飲み合わせを思い浮かべてください。薬Aも薬Bも単独なら少し効くのに、一緒に飲むと急に強く効くことがあります。これは「Aの効果 + Bの効果」では説明できません。この足し算から外れた分が交互作用です。冒頭のケーキの例も同じで、温度の効果が時間によって逆向きになっていました。

モデルの式は次のとおりです。

$$y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}$$

$\alpha_i$ と $\beta_j$ を 主効果、$(\alpha\beta)_{ij}$ を交互作用と呼びます。全体の平方和は4つに分かれます。

$$S_T = S_A + S_B + S_{AB} + S_E$$

$S_{AB}$ は、セルの平均の平方和から $S_A$ と $S_B$ を引いて求めます。自由度は次のとおりです。

【2元配置の自由度】

• 因子 $A$： $a - 1$
• 因子 $B$： $b - 1$
• 交互作用： $(a - 1)(b - 1)$
• 誤差： $ab(r - 1)$
• 全体： $abr - 1$

交互作用の有無は、水準の平均を線で結んだ図で読み取れます。線が平行なら交互作用はなく、線の間隔が変わったり交差したりしていれば、交互作用があります。

例題：2元配置の分散分析

肥料（$A$：2水準）と水やりの回数（$B$：3水準）の組み合わせで、2回ずつ実験しました。

	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	10, 12	14, 16	18, 20
$A_2$	12, 14	20, 22	30, 28

交互作用を検定しましょう。$F_{0.05}(2, 6) = 5.14$ です。

【解き方】

1. セルの平均は、$A_1$ が 11, 15, 19、$A_2$ が 13, 21, 29。全体の平均は18
2. 水準の平均は、$A$ が 15, 21、$B$ が 12, 18, 24
3. $S_A = 6 \times (9 + 9) = 108$、$S_B = 4 \times (36 + 0 + 36) = 288$
4. セルの平方和は $2 \times \{49 + 9 + 1 + 25 + 9 + 121\} = 428$ なので、$S_{AB} = 428 - 108 - 288 = 32$
5. 各セルの中の平方和はどれも2なので、$S_E = 2 \times 6 = 12$

要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 比
$A$	108	1	108	54
$B$	288	2	144	72
$A \times B$	32	2	16	8
誤差	12	6	2
全体	440	11

交互作用の $F$ 比は $8 > 5.14$ なので有意です。$A_2$ と $A_1$ の差が 2, 6, 10 と広がっていることと合っています。つまり、水やりが多いほど肥料の差が大きいのです。交互作用が有意なときは、主効果だけを語らず、組み合わせごとに結果を述べます。

試験のポイント：繰り返しのない2元配置（$r = 1$）では、$ab(r - 1) = 0$ で誤差の自由度がありません。交互作用がないと仮定して、$S_{AB}$ にあたる部分を誤差とみなします。

以上が、2元配置と交互作用についての説明です。

乱塊法とブロック計画：ノイズを取り除く

区画の差を誤差から取り除くと、肥料の差が見える

続いて、局所管理を実験の形にする方法を解説します。

ブロック化 は、実験の場を似た条件のまとまりに分けることでした。乱塊法 は、ブロックの中で、すべての処理を無作為に割り当てる実験です。乱塊は「乱（無作為）」と「塊（ブロック）」という意味です。

畑が斜面にあるとしましょう。上の段と下の段では、土の質が違います。肥料Aを上の段だけに使うと、肥料の差か土の差か分かりません。そこで、段ごとに3種類の肥料をくじで割り当てます。どの段でも全種類を比べるので、段の差は打ち消されます。

モデルは、繰り返しのない2元配置と同じ形です。処理の数を $t$、ブロックの数を $b$ とします。

$$y_{ij} = \mu + \tau_i + \rho_j + \varepsilon_{ij}$$

$\tau_i$ が処理の効果、$\rho_j$ がブロックの効果です。誤差の自由度は $(t-1)(b-1)$ です。ブロックの平方和を誤差から取り除けるのが、この方法の強みです。

例題：乱塊法の効果を確かめる

3種類の肥料を、土の質が違う4つの区画で試しました。

肥料	区画1	区画2	区画3	区画4	平均
A	21	24	27	32	26
B	23	27	32	34	29
C	26	30	33	39	32

全体の平方和は $S_T = 302$、処理の平方和は $S_{\text{処理}} = 72$、ブロックの平方和は $S_{\text{ブロック}} \approx 224.67$ です。乱塊法としての $F$ 比と、ブロックを無視して1元配置で分析したときの $F$ 比を比べましょう。

【解き方】

1. 乱塊法の誤差： $302 - 72 - 224.67 = 5.33$、自由度 $2 \times 3 = 6$、平均平方は約0.89
2. 乱塊法の $F$ 比： $36 \div 0.89 = 40.5$ で、$F_{0.05}(2, 6) = 5.14$ を超える
3. 1元配置の誤差： $302 - 72 = 230$、自由度9、平均平方は約25.6
4. 1元配置の $F$ 比： $36 \div 25.6 \approx 1.41$ で、$F_{0.05}(2, 9) = 4.26$ を超えない

答えは、乱塊法では有意で、1元配置では有意になりません。同じデータでも、区画の差が誤差に混ざると、肥料の差が埋もれてしまうのです。誤差の自由度は3つ減りますが、ノイズが大きく減るなら十分に得をします。

ところで、ブロックの中に全処理が入らないこともあります。例えば、7種類のスープの味を比べたいのに、1人が味の違いを判断できるのは3種類までだとします。1人が1つのブロックです。このように、ブロックの大きさが処理の数より小さいものを 不完備ブロック と呼びます。全処理が入る乱塊法は 完備ブロック です。

割り当てをでたらめに決めると、比べやすい組とそうでない組ができます。そこで、どの処理の組も同じ回数だけ同じブロックに入るように組みます。これが 釣合い型不完備ブロック計画（BIBD）です。こうしたブロックの組み方を ブロック計画 と呼びます。処理の数を $v$、ブロックの数を $b$、ブロックの大きさを $k$、各処理の反復数を $r$、各組が同じブロックに入る回数を $\lambda$ とすると、次の2つの条件が必要です。

$$bk = vr, \qquad \lambda(v - 1) = r(k - 1)$$

1つ目は「総区画数の数え方が2通りある」という式です。2つ目は、ある処理に注目して、同じブロックに入る相手の延べ人数を2通りに数えた式です。例えば、スープの例で $v = 7$、$k = 3$、$b = 7$ なら、$r = 7 \times 3 \div 7 = 3$、$\lambda = 3 \times 2 \div 6 = 1$ です。どの2種類のスープも、ちょうど1人に比べてもらえます。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： ブロックの要因が2つあるときは、ラテン方格法を使います。行と列の両方に各処理が1回ずつ入るように並べる計画です。

以上が、乱塊法とブロック計画についての解説です。

一部実施要因計画と直交配列：回数を減らす

回数を半分にすると、CとA×Bの区別がつかなくなる

最後に、因子が多いときの実験の組み方を見ていきましょう。

2水準の因子が $k$ 個あると、すべての組み合わせは $2^k$ 通りです。これを 完全実施要因計画 と呼びます。因子が7個なら $2^7 = 128$ 回です。とても全部はできません。

そこで、組み合わせの一部だけを実施するのが 一部実施要因計画 です。全種類の味見をせず、代表の数皿で料理全体を判断するようなものです。もちろん、代償があります。

水準を $-1$ と $+1$ で表して、3因子 $A, B, C$ を4回で調べるとします。$C$ の水準を $A$ と $B$ の積に等しく決めると、次の組み合わせになります。

実験	$A$	$B$	$C = AB$
1	$-1$	$-1$	$+1$
2	$+1$	$-1$	$-1$
3	$-1$	$+1$	$-1$
4	$+1$	$+1$	$+1$

$C$ の列と $AB$ の列は同じです。したがって、$C$ の主効果と $A \times B$ の交互作用は区別できません。これを 交絡（別名の関係）と呼びます。全部の列をかけると1になるので、$I = ABC$ と書き、これを 定義関係 と呼びます。両辺に $A$ をかけると $A = BC$ で、$B = AC$、$C = AB$ も同じように出ます（2乗は $I$ になる）。

要するに、主効果を読むには、交互作用が無視できることが前提です。

例題：2水準の一部実施の主効果

上の4回の実験の結果は、順に 10, 18, 12, 24 でした。主効果を求めましょう。

【解き方】

1. $A$ の主効果： $+1$ の平均 $(18 + 24)/2 = 21$ から $-1$ の平均 $(10 + 12)/2 = 11$ を引いて10
2. $B$ の主効果： $(12 + 24)/2 - (10 + 18)/2 = 18 - 14 = 4$
3. $C$ の主効果： $(10 + 24)/2 - (18 + 12)/2 = 17 - 15 = 2$

答えは順に10, 4, 2です。ただし、$A$ の10は、正確には $A$ と $B \times C$ を足し合わせた効果です。

こうした計画を手軽に作る道具が 直交配列 です。直交配列表は、どの2列をとっても、水準の組み合わせが同じ回数ずつ現れる表です。総当たり戦の対戦表のように、誰と誰の組み合わせも公平に出てくるイメージです。この性質のおかげで、ある因子の効果を計算するとき、他の因子の効果が打ち消されます。

同じ構造をもつ標準の表が $L_4(2^3)$ です。水準を1と2で書き、どの2列をとっても (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) が1回ずつ現れます。

実験	1列	2列	3列
1	1	1	1
2	1	2	2
3	2	1	2
4	2	2	1
成分	$a$	$b$	$ab$

$L_4$ の4は実験回数、$2^3$ は2水準の列が3つあることを意味します。

【直交配列表の使い方】

1. 実験回数と列数で表を選ぶ。$L_8(2^7)$ なら8回の実験で、列は7本
2. 因子を列に割り付ける
3. 調べたい交互作用の列は空けておく。$a$ の列と $b$ の列の交互作用は、成分 $ab$ の列に現れる
4. 何も割り付けない列は、誤差の見積もりに使う

例えば、$L_8(2^7)$ の1列に $A$、2列に $B$ を割り付けたら、$A \times B$ は成分 $ab$ の3列に現れます。もし3列に因子 $C$ を入れると、$C$ と $A \times B$ が交絡します。$L_8$ の全体の自由度は $8 - 1 = 7$ で、各列の自由度が1なので、主効果と交互作用を合わせて7個までしか調べられません。$128$ 回を8回に減らす代わりに、調べる効果を絞っているのです。

試験のポイント：定義関係から別名を求める問題が出ます。効果の文字に定義関係をかけて、2回出た文字を消します。例えば $I = ABCD$ なら、$AB$ に $ABCD$ をかけて $CD$ が別名です。

以上が、一部実施要因計画と直交配列についての解説です。

細かい計算を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「組み合わせを調べないと交互作用は見えない」「ブロック化でノイズを除く」「回数を減らすと効果が交絡する」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

組み合わせで見て、ノイズを除き、交絡を知って回数を減らす

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、分散分析表の読み方と、効率のよい実験の組み方について紹介しました。実験は「やってから分析」ではなく、「分析できるように組む」ものです。どんな計画も、知りたい効果と、ノイズや他の効果を分ける工夫でできています。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 1元配置の $F$ 比は、「物差し + 効果」と物差しの比。$V_E$ は誤差の分散を見積もる。
• 2元配置では、平方和が主効果と交互作用と誤差に分かれる。交互作用の自由度は $(a-1)(b-1)$。
• 乱塊法はブロックの中で全処理を無作為に割り当てる。ブロックの平方和を誤差から除ける。
• 釣合い型不完備ブロック計画は $bk = vr$、$\lambda(v-1) = r(k-1)$ を満たす。
• 一部実施要因計画は回数を減らす代わりに、効果が交絡する。直交配列表はそれを手軽に組む道具。

キーワードのおさらい

• フィッシャーの三原則: 反復、無作為化、局所管理
• 1元配置: 因子が1つの実験
• 2元配置: 因子が2つの実験。すべての組み合わせを実施する
• 分散分析表: 要因ごとの平方和、自由度、平均平方、$F$ 比をまとめた表
• 交互作用: 一方の因子の効果が、もう一方の水準によって変わること
• ブロック化: 実験の場を似た条件のまとまりに分けること
• 乱塊法: ブロックの中で全処理を無作為に割り当てる実験
• 一部実施要因計画: 組み合わせの一部だけを実施する計画
• 直交配列: どの2列でも水準の組み合わせが同じ回数ずつ現れる配列
• ブロック計画: 処理をブロックへ割り当てる組み方。釣合い型不完備ブロック計画など

さて、実験はこちらが条件を決められました。では、全国の世帯のように、すでにある集団の一部を調べるときはどうでしょうか？ 集団の大きさが決まっていると、これまでの誤差の式にも修正が要ります。

次回は、有限母集団からの抽出と、各種の標本抽出法を扱う「標本調査法」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。