統計学 学習ノート

はじめに

3つの群をt検定3回で比べると、誤りが膨らむ

「3種類の肥料を比べたい。t検定を3回やればいいんじゃない？」

トマトの収穫量を比べる実験をしたとしましょう。肥料なし、肥料A、肥料Bの3グループがあります。2つずつ組み合わせて、t検定を3回行えば答えが出そうですよね。

実は、この方法には落とし穴があります。検定を繰り返すほど、本当は差がないのに「差がある」と誤って判断する確率が膨らんでいくのです。くじを1回引くより3回引くほうが、当たりやすいのと同じです。

そこで登場するのが、今回の主役 分散分析（ANOVA） です。3つ以上のグループの平均に差があるかを、1回の検定でまとめて調べる方法です。「平均の差」を調べるのに「分散」と呼ぶのが不思議ですが、その理由もこれから分かります。

前回の記事では、回帰分析で複数の変数を扱いました。今回の記事では、実験の組み立てを思い出したうえで、一元配置実験 のデータを分散分析で調べる手順と、F比 の読み方について解説します。

実験の組み立て：比べるための準備

各水準に5鉢ずつ反復し、くじで割り当てて公平に比べる

はじめに、分散分析の土台となる実験の組み立てについて解説します。

実験 とは、調べたい要因を研究者が意図的に変えて、結果を測ることです。「実験 — フィッシャーの3原則」の記事で学んだ内容を、ここで短く思い出しましょう。

実験の基本は、公平な比べ方です。料理コンテストで、1人だけ高級な食材を使っていたら、腕の勝負にはなりませんよね。トマトの実験でも、比べたい肥料以外の条件をできるだけそろえます。

【実験の用語】

• 因子： 結果に影響すると考えて、実験で変える要因（例：肥料の種類）
• 水準： 因子の種類や段階（例：肥料なし、肥料A、肥料Bの3水準）
• 処理群と対照群： 処理を受けるグループと、比較の基準になるグループ（例：肥料Aの鉢と、肥料なしの鉢）
• 反復： 同じ処理を複数の対象に行うこと（例：各水準に5鉢ずつ）
• ブロック化： 条件の似た対象をまとめ、その中で処理を比べること（例：同じ日当たりの区画の中で比べる）

なぜ反復が必要なのでしょうか？ 1鉢ずつの比較では、差が肥料のせいか、その鉢のたまたまの出来なのかを区別できないからです。反復があって初めて、たまたまのばらつきの大きさが分かります。

もう1つの原則が、無作為化です。どの鉢にどの肥料を与えるかは、くじなどでランダムに決めます。こうして、1つの因子だけを変えて行う実験を 一元配置実験 と呼びます。

試験のポイント：フィッシャーの3原則は、反復、無作為化、局所管理です。ブロック化は局所管理の具体的な方法です。

以上が、実験の組み立てについての解説です。

3群以上の平均値の差：変動を2つに分ける

全変動70を、群間の40と群内の30に分ける

次に、3群以上の平均値の差を調べる考え方について説明します。

まず、冒頭の落とし穴を数字で確かめましょう。有意水準5%の検定を1回行うとき、誤って棄却しない確率は0.95です。独立に3回行うなら、1回も誤らない確率は $0.95^3$ なので、少なくとも1回誤る確率は次のようになります。

$$1 - 0.95^3 \approx 0.14$$

5%のつもりが、約14%にまで膨らみました。これを 検定の多重性 と呼びます。グループが5つなら組み合わせは10通りで、約40%です。

そこで分散分析では、$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$ を一度に検定します。対立仮説は「少なくとも1組の平均が異なる」です。「全部が異なる」ではない点に注意しましょう。

分散分析のアイデアは、回帰分析の変動の分解と同じです。データ全体のばらつきを、2つに分けます。

$$S_T = S_A + S_e$$

• $S_T$（全変動）： すべての値と全体平均の差の2乗の合計
• $S_A$（群間変動）： 各群の平均と全体平均の差の2乗に、群の大きさを掛けて合計したもの
• $S_e$（群内変動）： 各値と、その群の平均の差の2乗の合計

例え話で考えてみましょう。3つのクラスの点数がばらついている理由は2つあります。1つは「クラスごとの実力の違い」で、これが群間変動です。もう1つは「同じクラスの中の個人差」で、これが群内変動です。個人差に比べて、クラスの違いが十分に大きければ、クラスの平均に差があると言えます。

つまり、平均の差を調べるために、ばらつきの比を見ているのです。これが「分散」分析と呼ばれる理由です。

具体的に見てみましょう。トマトの実験の結果が、次の表のようだったとします。値は、1鉢から収穫できた実の個数です。

処理	鉢1	鉢2	鉢3	鉢4	鉢5	平均
肥料なし	18	19	20	22	21	20
肥料A	22	23	25	24	26	24
肥料B	20	22	21	23	24	22

全体平均は22です。3つの変動を計算します。

【変動の計算】

1. 群間変動： $S_A = 5 \times \{(20-22)^2 + (24-22)^2 + (22-22)^2\} = 5 \times 8 = 40$
2. 群内変動： 群ごとに偏差の2乗を合計すると、どれも10なので $S_e = 10 + 10 + 10 = 30$
3. 全変動： すべての値で計算すると $S_T = 70$

確かに 70 = 40 + 30 です。

以上が、変動を2つに分ける考え方についての説明です。

F比と分散分析表：検定の手順

F比はシグナルがノイズの何倍か。8.0は境目3.89を超える

続いて、F比の計算と分散分析表について解説します。

変動をそのまま比べることはできません。群の数やデータの数が違えば、足し合わせる項の数が違うからです。そこで、それぞれを自由度で割って、平均平方 にそろえます。

【自由度】（群の数を $k$、データの総数を $N$ とする）

• 群間： $k-1$
• 群内： $N-k$
• 全体： $N-1$

検定統計量の F比 は、群間の平均平方を群内の平均平方で割った値です。

$$F = \frac{S_A/(k-1)}{S_e/(N-k)}$$

言葉で言うと、「グループの違いによるばらつきが、たまたまのばらつきの何倍あるか」です。シグナルとノイズの比だと考えてください。$H_0$ が正しければ、$F$ は1の近くになります。$H_0$ のもとで $F$ は自由度 $(k-1,\ N-k)$ のF分布に従い、大きいほど $H_0$ に不利なので、棄却域は上側だけに置きます。

ここまでの結果を1枚にまとめたものが、単回帰の記事でも登場した分散分析表です。

例題：トマトの実験の分散分析

トマトのデータで、3つの処理の平均に差があるかを、有意水準5%で検定しましょう。$F_{0.05}(2, 12) = 3.89$ です。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$、$H_1$ は「少なくとも1組の平均が異なる」
2. 自由度を求める： 群間は 3 − 1 = 2、群内は 15 − 3 = 12
3. 平均平方を求める： 群間は 40 ÷ 2 = 20、群内は 30 ÷ 12 = 2.5
4. F比を計算する： $F = 20 \div 2.5 = 8.0$
5. 8.0 > 3.89 なので、$H_0$ を棄却する

要因	平方和	自由度	平均平方	F比
処理（群間）	40	2	20	8.0
残差（群内）	30	12	2.5
全体	70	14

答えは「有意水準5%で、少なくとも1組の平均に差がある」です。p値は約0.006です。

ここで、3つ注意しておきましょう。

【分散分析の注意点】

1. 前提： 各群は正規分布に従い、分散が等しく、データは互いに独立であることを仮定する
2. 結論の範囲： 棄却しても、どの組に差があるかまでは分からない
3. 2群のとき： 群が2つなら、F比は等分散を仮定した t検定の $t$ の2乗に等しい

どの組に差があるかを知るには、多重比較 という方法を使います。検定を繰り返すぶんの誤りが膨らまないように、基準を厳しく調整して比べます。

試験のポイント：分散分析表は、空欄を埋める形でよく問われます。平方和は足し算、自由度も足し算、平均平方は割り算、という関係を覚えておきましょう。

以上が、F比と分散分析表についての解説です。

ブロック化：ノイズを取り除く

区画の違いをノイズから取り除くと、F比は8.0から30.0へ

最後に、ブロック化の効果を見ていきましょう。

先ほどのF比の分母は、たまたまのばらつきでした。ここが小さいほど、処理の差は見つけやすくなります。騒がしい教室より静かな教室のほうが、小さな声でも聞き取れるのと同じです。

実は、ばらつきの中には、原因が分かっていて取り除けるものがあります。例えば、畑の日当たりです。もし、表の鉢1〜鉢5が日当たりの違う5つの区画を表していて、各区画に3つの処理を1鉢ずつ割り当てていたとしましょう。これがブロック化です。区画という ブロック の中で処理を比べるので、日当たりの違いが処理の比較に混ざりません。

このとき、区画の違いによる変動 $S_B$ を、ノイズから取り出せます。

$$S_T = S_A + S_B + S_e$$

先ほどの表で計算してみましょう。区画ごとの合計は60, 64, 66, 69, 71で、区画ごとの平均と全体平均から $S_B \approx 24.67$ となります。

要因	平方和	自由度	平均平方	F比
処理	40	2	20	30.0
ブロック（区画）	24.67	4	6.17	9.25
残差	5.33	8	0.667
全体	70	14

ブロック化しないときの残差の平方和は30でしたが、そこから24.67が区画のぶんとして取り除かれ、残りは5.33です。平均平方は2.5から約0.667に小さくなり、処理のF比は8.0から30.0に上がりました。$F_{0.05}(2, 8) = 4.46$ を大きく超えています。

同じデータでも、実験の組み立て方しだいで、差の見つけやすさが大きく変わるのです。つまり、ブロック化は「ノイズを減らす」工夫です。ただし、残差の自由度は12から8に減るので、ブロックは本当に条件の違いがあるときに作ります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。3つの教え方を比べるなら、学力の近い生徒を3人ずつの組にして、組の中で教え方を割り当てます。組がブロックです。元の学力の差を取り除けるので、教え方の差が見やすくなります。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： ブロックのように2つ目の要因を加えて分析する方法を、二元配置の分散分析と呼びます。詳しくは準1級で学びます。

以上が、ブロック化についての説明です。

細かい計算を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「全体のばらつきを分けて、群の違いがノイズの何倍かをF比で見る」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

変動を分けてF比で見る。分かるのは少なくとも1組の差

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は実験の組み立てと、3群以上の平均値の差を調べる分散分析を紹介しました。分散分析は、ばらつきを「説明できるもの」と「たまたまのもの」に分ける方法です。回帰分析の変動の分解と、根っこは同じです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• t検定を繰り返すと、誤って棄却する確率が膨らむ（検定の多重性）。
• 分散分析は、全変動を群間変動と群内変動に分ける。
• F比は「群の違いによるばらつき」が「たまたまのばらつき」の何倍かを表す。
• 棄却しても分かるのは「少なくとも1組に差がある」ことまで。
• ブロック化はノイズを取り除き、処理の差を見つけやすくする。

キーワードのおさらい

• 実験: 要因を意図的に変えて結果を測ること
• 処理群と対照群: 処理を受けるグループと、比較の基準になるグループ
• 反復: 同じ処理を複数の対象に行うこと
• ブロック化: 条件の似た対象をまとめ、その中で処理を比べること
• 一元配置実験: 1つの因子だけを変えて行う実験
• 分散分析: 変動を分解して、3群以上の平均の差を調べる方法
• F比: 群間の平均平方を群内の平均平方で割った値

さて、ここまでで2級の手法はすべて出そろいました。でも、実際の分析では、計算はソフトウェアが行います。人間の仕事は、出てきた数字を読み取って、判断につなげることです。

次回は、2級の最後の記事として「統計ソフトウェアの活用」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。