統計学 学習ノート

はじめに

計算はソフトの仕事。数字を読むのは人の仕事

「計算はソフトがやってくれるなら、何を勉強すればいいの？」

ここまで検定の式を手で解いてきて、こう感じた人もいるかもしれません。実際の分析では、データを入れてボタンを押すか、コードを1行書けば、一瞬で結果が出ます。電卓で平方根を開く場面は、ほとんどありません。

実は、計算が簡単になるほど、大事になる力があります。それは、出てきた数字を読み取る力です。健康診断の結果票に似ています。検査は機械がしてくれますが、数字の意味が分からなければ、生活を変えることはできませんよね。

統計検定2級でも、ソフトの出力を示して読み取らせる問題がよく出題されます。

そこで登場するのが、今回の主役 計算出力の活用 と 問題解決への活用 です。

前回の記事では、分散分析で3群以上の平均を比べました。今回の記事では、2級の最後として、回帰分析や検定の出力を読み取る方法と、その結果を判断につなげる方法について解説します。

出力を読むときの基本

英語の項目も、中身はこれまで学んだものと同じ

はじめに、どの出力にも共通する読み方について解説します。

統計ソフトには、表計算ソフト（Excelなど）、R、Pythonなど、いろいろな種類があります。見た目は違いますが、書いてある中身はこれまで学んだものと同じです。英語の項目名に驚く必要はありません。海外のレストランのメニューのようなもので、書いてある料理は知っているものばかりです。

【出力の項目の対応表】

項目	Rなどの表示	表計算ソフトの表示
係数（推定値）	Estimate	係数
標準誤差	Std. Error	標準誤差
t値	t value	t
p値	Pr(>|t|)、p-value	P-値
切片	(Intercept)	切片
決定係数	Multiple R-squared	重決定 R2
自由度調整済み決定係数	Adjusted R-squared	補正 R2
F検定のp値	p-value	有意 F
自由度	df、Df	自由度

出力を読むときは、次の3つの順番で確かめます。

【出力を読む3つの手順】

1. 何を検定しているのかを確かめる： 帰無仮説は何か、データは何件か
2. 推定値とその標準誤差を見る： 効果の向きと大きさはどれくらいか
3. p値を有意水準と比べる： p値が有意水準より小さければ棄却する

もう1つ、数字の書き方にも慣れておきましょう。ソフトは、とても小さい数を指数で表します。例えば、2.1e-06 や 2.1E-06 は、$2.1 \times 10^{-6}$、つまり0.0000021のことです。p値が「< 2.2e-16」と出たら、「計算できる限界より小さい」という意味で、0になったわけではありません。

また、p値の横に付く「*」は有意水準の目印です。よく使われる表示では、* は5%、** は1%、*** は0.1%で有意という意味です。星の数は効果の大きさではありません。

試験のポイント：p値は「$H_0$ が正しい確率」ではありません。「$H_0$ が正しいとしたときに、これ以上極端な結果が出る確率」です。

以上が、出力を読むときの基本についての解説です。

回帰分析の出力を読む

t値は係数を標準誤差で割った値

次に、最もよく出題される回帰分析の出力について説明します。

例えば、あるコンビニの店長が、30日分のデータから売上の要因を調べたとしましょう。売上 $y$（万円）を、来店者数 $x_1$（百人）と最高気温 $x_2$（度）で説明する重回帰の出力は、次のようになりました。

	Estimate	Std. Error	t value	Pr(>|t|)
(Intercept)	12.50	3.10	4.03	0.0004
来店者数	4.20	0.70	6.00	2.1e-06
最高気温	0.16	0.20	0.80	0.4307

項目	値
Residual standard error	3.75（自由度27）
Multiple R-squared	0.620
Adjusted R-squared	0.592
F-statistic	22.03（自由度2と27）、p-value: 2.1e-06

地図を読むように、上から順に見ていきましょう。

【出力の読み方】

1. 回帰式： $\hat{y} = 12.50 + 4.20x_1 + 0.16x_2$
2. 来店者数の係数： 気温が同じなら、来店者が100人増えると売上は4.2万円増える。p値が小さいので有意
3. 最高気温の係数： p値が0.43と大きいので、0でないとは言えない
4. 決定係数： 売上の変動の62%をこのモデルで説明できる
5. F検定： p値が小さいので、少なくとも1つの係数は0ではない
6. 残差の標準誤差： 予測は典型的に3.75万円ほど外れる
7. 自由度27： 30 − 2 − 1 = 27 で、データ数と説明変数の数を逆算できる

試験では、出力の一部を隠して、計算させる問題も出ます。これまでの式を思い出せば、次のように求められます。

例題：出力から計算する

上の出力から、次の3つを求めましょう。$t_{0.025}(27) = 2.052$ です。

1. 来店者数の係数の95%信頼区間
2. 来店者数が800人、最高気温が20度の日の売上の予測値
3. 自由度調整済み決定係数

【解き方】

1. 係数 ± 境目 × 標準誤差より、4.20 ± 2.052 × 0.70 = 2.76〜5.64
2. $x_1 = 8$ に注意して、12.50 + 4.20 × 8 + 0.16 × 20 = 49.3
3. $1 - (1 - 0.620) \times 29 \div 27 = 0.592$

答えは、信頼区間が2.76〜5.64、予測値が49.3万円、自由度調整済み決定係数が0.592です。信頼区間が0を含まないことは、係数が有意であることと対応しています。単位が百人である点は、よくある引っかけです。

試験のポイント：t値は「係数 ÷ 標準誤差」です。この関係を使えば、隠された3つのうちどれでも求められます。

以上が、回帰分析の出力についての説明です。

検定の出力を読む

形式は違っても、p値を有意水準と比べるのは同じ

続いて、t検定、分散分析、カイ二乗検定の出力について解説します。科目は違っても、成績表の形式はよく似ています。1つずつ見ていきましょう。

1. t検定の出力

店長が、売り場のレイアウトを変える前の20日間と変えた後の20日間で、1日の売上（万円）を比べたとします。出力は次の通りです。

項目	値
検定	Welch Two Sample t-test
t	−2.41
df	37.6
p-value	0.021
95 percent confidence interval	−8.10 〜 −0.70
mean of x（変更前）	48.2
mean of y（変更後）	52.6

Welchとあるので、等分散を仮定しない検定です。p値は0.021で、有意水準5%で棄却されます。差は 48.2 − 52.6 = −4.4 で、信頼区間は0を含みません。つまり、変更後のほうが売上は高く、その差は0.7〜8.1万円の範囲と読めます。

自由度が小数になっている点が、ウェルチの検定の目印です。t値の符号は、どちらからどちらを引いたかで変わるだけなので、平均の値とあわせて向きを確かめましょう。

2. 分散分析の出力

次に、4種類の陳列を10日ずつ試した結果です。出力は分散分析表の形をしています。

	Df	Sum Sq	Mean Sq	F value	Pr(>F)
陳列	3	120	40	8.0	0.0003
Residuals	36	180	5

前回の記事の表と同じです。Sum Sqは平方和、Mean Sqは平均平方、Residualsは残差です。120 ÷ 3 = 40、180 ÷ 36 = 5、40 ÷ 5 = 8.0 と確かめられます。

自由度からも、実験の形が読み取れます。陳列の自由度が3なので群は4つ、全体の自由度が 3 + 36 = 39 なので、データは40個です。p値は0.0003なので、少なくとも1組の陳列で平均に差があると言えます。

3. カイ二乗検定の出力

最後に、年代と支払い方法の関連を調べた独立性の検定です。

項目	値
検定	Pearson's Chi-squared test
X-squared	6.52
df	2
p-value	0.038

X-squaredが $\chi^2$ のことです。自由度が2なので、2×3の表だと分かります。p値は0.038なので、有意水準5%では関連があると言えますが、1%では言えません。有意水準はデータを見る前に決めておくものなので、どちらで判断するかは最初に定めます。

以上が、検定の出力についての解説です。

問題解決への活用

有意でも差は0.3点。差が大事かは別に判断する

最後に、出力を問題解決につなげる方法を見ていきましょう。

4級で学んだPPDACサイクルを思い出してください。問題（Problem）、計画（Plan）、データ（Data）、分析（Analysis）、結論（Conclusion）の順に進むのでした。ソフトが助けてくれるのは、主に分析の部分です。問題を立てることと、結論を出すことは、人間の仕事です。

分析結果は、料理で言えば素材にすぎません。何を作るかは、シェフが決めます。結論を出す前に、次の点を確かめましょう。

【結論を出す前の確認】

1. データは問いに合っているか： 偏った標本ではないか、はずれ値や入力ミスはないか
2. 前提は成り立っているか： 残差プロットに模様はないか、等分散や独立性を仮定してよいか
3. 差の大きさに意味はあるか： 統計的に有意でも、実務で意味のある大きさか
4. 因果と言えるか： 観察データなら、関連があるとしか言えない

例題：有意な差の判断

ある教材の効果を調べました。各群10,000人で、標準偏差はどちらも10点です。新教材のほうが平均点は0.3点高く、p値は0.034でした。教材を全校で入れ替えるべきでしょうか？

【考え方】

1. p値が0.05より小さいので、統計的には有意
2. しかし、差は0.3点しかない。これは標準偏差の0.03倍である
3. 標本が大きいと標準誤差が小さくなり、わずかな差でも有意になる
4. 入れ替えの費用に見合う効果かは、差の大きさから判断する

答えは「有意という理由だけでは入れ替えを決められない」です。有意かどうかは「差があるか」の答えで、「差が大事か」の答えではありません。

逆の場合もあります。標本が小さいと、大事な差があっても有意にならないことがあります。有意でないことは「差がない」ことの証明ではないので、信頼区間の幅も見て、データを追加するかを考えます。

せっかくなので、店長の話でも考えてみましょう。来店者数の係数が有意でも、「来店者を増やせば売上が増える」とは言い切れません。セールの日に来店者も売上も増えただけかもしれないからです。そこで、次は別の店舗で実験してみる、という新しい計画につながります。こうしてPPDACが回っていくのです。

試験のポイント：有意か有意でないかだけでなく、効果の大きさ、信頼区間、前提の確認をあわせて判断します。

以上が、問題解決への活用についての説明です。

細かい項目名を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「ソフトは計算を代わってくれるが、読み取りと判断は人間の仕事である」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

読んで、確かめて、判断する。結論は次の計画につながる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は統計ソフトの出力を読み取り、問題解決につなげる方法を紹介しました。どんなに長い出力でも、中身はこれまで学んだ推定値、標準誤差、検定統計量、p値の組み合わせです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 出力は「何を検定しているか → 推定値と標準誤差 → p値」の順に読む。
• t値は係数を標準誤差で割った値。隠された値は、この関係で求められる。
• 自由度から、データの数や群の数を逆算できる。
• 有意であることと、差が実務で大事であることは別の話。
• 因果の判断や結論は、データの取り方まで含めて人間が考える。

キーワードのおさらい

• 計算出力の活用: ソフトの出力から推定値、標準誤差、p値などを読み取り、必要な値を求めること
• 問題解決への活用: 分析の結果を、前提や効果の大きさとあわせて判断し、次の行動につなげること

これで、2級の記事はすべて終わりです。ここまでお疲れさまでした。データの記述から始まり、確率分布、推定、検定、回帰、分散分析まで、推測統計の基礎がひと通りそろいました。順に読んで練習問題を解いてきたなら、2級の合格ラインはもう見えています。

さて、次はいよいよ準1級です。準1級では、2級で「こういうものだ」と受け入れてきた分布や検定の式を、確率の理論から導けるようになります。さらに、最尤法やロジスティック回帰、主成分分析、ベイズ法など、実社会の課題に合わせて手法を選ぶ力を身につけていきます。

その第一歩は、すべての土台となる「事象と確率」の見直しです。

それでは、準1級の記事へ進んでいきましょう。