統計学 学習ノート

はじめに

きれいに同じにはならない。どこまでのズレなら許せるか

「このサイコロ、なんだか6ばかり出ない？」

友達とすごろくをしていて、こう疑ったことはありませんか？ 例えば、120回振って1の目が14回、6の目が21回だったとします。1から6まで、きれいに20回ずつにはなりません。でも、ぴったり同じにならないのは当たり前です。どこまでのズレなら許せるのでしょうか？

前回の記事では、「買った・買わない」のような2択の比率を比べました。でも、サイコロの目は6種類あります。部活の種類と朝食の習慣のように、3種類以上の質的変数の関連を調べたいこともありますよね。比率の検定を何度も繰り返すのは大変です。

実は、こうした問題は、「予想した度数と実際の度数のズレ」を1つの数にまとめるだけで解けます。

そこで登場するのが、今回の主役 カイ二乗統計量 です。この物差しを使う検定は、大きく2つあります。

今回の記事では、データが理論どおりの分布に合っているかを調べる 適合度検定 と、2つの質的変数が関連しているかを調べる 独立性の検定 について解説します。

カイ二乗統計量：予想と現実のズレを1つの数に

カイ二乗統計量は、予想と現実の答え合わせの点数

はじめに、2つの検定に共通するカイ二乗統計量について解説します。

結論を一言で言うと、カイ二乗統計量は、予想と現実の答え合わせの点数です。カテゴリごとに「実際の度数」と「予想した度数」を比べて、ズレを合計します。

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$

$O_i$ はカテゴリ $i$ の 観測度数（observed）、$E_i$ は 期待度数（expected）、$k$ はカテゴリの数です。期待度数とは、帰無仮説が正しいとしたときに予想される度数のことです。「散らばりなどの指標」の記事で登場した、一様な頻度からのずれを表すカイ二乗値は、これの仲間です。

式の中身を、順に見ていきましょう。

【式の読み方】

1. $O_i - E_i$： 予想とのズレ
2. 2乗する： プラスとマイナスのズレが打ち消し合わないようにする
3. $E_i$ で割る： 予想の大きさに対して、ズレがどれだけ大きいかを見る
4. 合計する： すべてのカテゴリのズレを1つの数にまとめる

なぜ $E_i$ で割るのでしょうか？ 例えば、10人のズレは、予想が20人のときには大事件ですが、予想が1万人のときには誤差です。お小遣いが1,000円増えるのと、年収が1,000円増えるのとでは、重みが違うのと同じです。

具体的に見てみましょう。コインを100回投げて表が60回出たとします。公平なコインなら、期待度数は表も裏も50回です。

$$\chi^2 = \frac{(60-50)^2}{50} + \frac{(40-50)^2}{50} = 2 + 2 = 4$$

ズレがまったくなければ0で、ズレが大きいほど値は大きくなります。そのため、棄却域は必ず上側だけに置きます。$n$ が大きいとき、$H_0$ のもとでこの値は近似的にカイ二乗分布に従います。

ここで、1つ注意があります。この近似が使えるのは、度数が十分に大きいときです。目安は、すべての期待度数が5以上であることです。5未満のカテゴリがあれば、隣のカテゴリと1つにまとめます。

試験のポイント：計算に使うのは比率ではなく度数です。「30%」のような値は、人数や回数に直してから式に入れます。

以上が、カイ二乗統計量についての解説です。

適合度検定：理論どおりの分布か

サイコロのズレは4.4で、境目11.07に届かない

次に、適合度検定について説明します。

適合度検定 は、観測された度数の分布が、理論の分布に合っているかを調べる検定です。服の試着に例えると、理論という服がデータという体に合っているかを確かめる作業です。

$H_0$ は「データは理論の分布に従う」です。検定統計量は先ほどの $\chi^2$ で、自由度はカテゴリの数から1を引いた $k-1$ です。

なぜ1を引くのでしょうか？ 度数の合計は決まっているので、$k-1$ 個のカテゴリの度数が決まれば、最後の1つは自動的に決まるからです。自由に動けるのは $k-1$ 個だけなのです。

例題：サイコロの検定

サイコロを120回振ると、次の結果でした。公平なサイコロと言えるかを、有意水準5%で検定しましょう。$\chi^2_{0.05}(5) = 11.07$ です。

目	1	2	3	4	5	6
観測度数	14	25	19	17	24	21

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0$ は「どの目も確率 $1/6$」、$H_1$ は「$H_0$ ではない」
2. 期待度数を求める： 120 ÷ 6 = 20（どの目も同じ）
3. ズレの2乗を合計する： 36 + 25 + 1 + 9 + 16 + 1 = 88
4. 検定統計量を計算する： $\chi^2 = 88 \div 20 = 4.4$
5. 自由度は 6 − 1 = 5。4.4 < 11.07 なので、$H_0$ を棄却しない

答えは「有意水準5%で、公平でないとは言えない」です。冒頭の疑いは、たまたまの範囲でした。

棄却しないことは、公平だと証明したことにはなりません。あくまで「おかしいという証拠が足りない」という結論です。この点は、これまでの検定と同じです。

例題：ガチャの排出率の検定

せっかくなので、比率が等しくない例も見てみましょう。ノーマル70%、レア25%、スーパーレア5%と公表されているガチャを200回引くと、それぞれ155回、33回、12回でした。公表どおりかを、有意水準5%で検定します。$\chi^2_{0.05}(2) = 5.99$ です。

【解き方】

1. 期待度数を求める： 200 × 0.70 = 140、200 × 0.25 = 50、200 × 0.05 = 10
2. 検定統計量を計算する： $\chi^2 = 15^2 \div 140 + 17^2 \div 50 + 2^2 \div 10 = 1.61 + 5.78 + 0.40 = 7.79$
3. 自由度は 3 − 1 = 2。7.79 > 5.99 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、公表どおりとは言えない」です。3つの項を見比べると、ズレの主な原因はレアの少なさだと分かります。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 理論の分布の母数をデータから推定したときは、推定した母数の数 $p$ の分だけ自由度が減り、$k-1-p$ になります。例えば、平均をデータから推定したポアソン分布に6カテゴリで当てはめるなら、自由度は 6 − 1 − 1 = 4 です。

以上が、適合度検定についての説明です。

独立性の検定：2つの変数に関連はあるか

独立なら、どの部活でも全体と同じ70%になるはず

続いて、独立性の検定について解説します。

独立性の検定 は、クロス表の2つの質的変数が独立かどうかを調べる検定です。2元クロス表の記事では、表を眺めて関連を探しました。今回は、その関連がたまたまなのかを判定します。

適合度検定との違いは、期待度数の作り方です。今回は理論の分布がないので、「2つが独立なら」と考えて、表の中から期待度数を作ります。確率の記事で学んだように、独立なら $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つのでした。これを度数に直すと、次の式になります。

$$E_{ij} = \frac{(\text{第}\,i\,\text{行の合計}) \times (\text{第}\,j\,\text{列の合計})}{\text{総数}}$$

例えば、全体の70%が朝食を毎日食べているなら、独立であれば、どの部活でも70%が食べているはずです。運動部が80人なら、56人が期待度数です。「全体の割合を、どのグループにも同じように配る」というイメージです。

検定統計量は、すべてのマスについてズレを合計した $\chi^2$ で、$r$ 行 $c$ 列の表の自由度は次のようになります。

$$\text{自由度} = (r-1)(c-1)$$

行の合計と列の合計が決まっていると、最後の行と最後の列は自動的に決まります。自由に動けるのは $(r-1)(c-1)$ マスだけなのです。

例題：部活と朝食の関連

200人の高校生を調べると、次の表のようになりました。部活の種類と朝食の習慣は独立かを、有意水準5%で検定しましょう。$\chi^2_{0.05}(2) = 5.99$ です。

	運動部	文化部	帰宅部	計
毎日食べる	64	42	34	140
毎日ではない	16	18	26	60
計	80	60	60	200

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0$ は「部活と朝食は独立」、$H_1$ は「独立ではない」
2. 期待度数を求める： 毎日食べるの行は 140 × 80 ÷ 200 = 56、42、42。毎日ではないの行は 24、18、18
3. 検定統計量を計算する： $\chi^2 = 8^2 \div 56 + 0 + 8^2 \div 42 + 8^2 \div 24 + 0 + 8^2 \div 18 = 8.89$
4. 自由度は (2 − 1) × (3 − 1) = 2。8.89 > 5.99 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、部活と朝食には関連がある」です。

ただし、この結果から「運動部に入れば朝食を食べるようになる」とは言えません。検定が示すのは関連の有無だけで、原因と結果の向きは分からないのです。

試験のポイント：独立性の検定の自由度は $(r-1)(c-1)$、適合度検定の自由度は $k-1$ です。「マスの数 − 1」としないように注意します。

以上が、独立性の検定についての解説です。

2×2の表と比率の差の検定

比率の差の検定と2×2の表は、同じ山の東と西の登り道

最後に、最もよく出る2×2の表を見ていきましょう。

2行2列のクロス表では、自由度は1です。さらに、$\chi^2$ を一度に計算できる便利な式があります。各マスの度数を $a, b, c, d$、総数を $N$ とすると、次のようになります。

$$\chi^2 = \frac{N(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$

分子の $ad - bc$ は、たすき掛けの差です。2つの変数が独立なら、この差は0に近づきます。

具体的に見てみましょう。前回の記事の広告の例を、クロス表に直します。

	購入した	しなかった	計
広告A	60	140	200
広告B	66	234	300
計	126	374	500

たすき掛けの差は 60 × 234 − 140 × 66 = 4,800 です。これを式に入れると、次のようになります。

$$\chi^2 = \frac{500 \times 4800^2}{200 \times 300 \times 126 \times 374} = 4.07$$

$\chi^2_{0.05}(1) = 3.84$ より大きいので棄却します。

ここがポイントです。前回の比率の差の検定では、$z = 2.02$ でした。この2乗はほぼ4.07で、$\chi^2$ と一致します。棄却域の境目も $1.96^2 = 3.84$ です。つまり、2×2の表の独立性の検定と、両側の比率の差の検定は、同じものを別の角度から見ているのです。同じ山を東から登るか、西から登るかの違いだと考えてください。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 度数が少ないときは、ズレを少し小さめに見積もる イェーツの補正 を使うことがあります。分子を $N(|ad-bc| - N/2)^2$ とする方法です。この例では $\chi^2$ が3.66になり、境目を下回ります。ソフトの出力を読むときは、補正の有無を確かめましょう。

以上が、2×2の表についての説明です。

細かい計算が分からなかったとしても問題ありません。ここでは、「期待度数を作って、ズレを $\chi^2$ で測る」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

違うのは予想の作り方だけ。ズレを足して上側で判定する

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回はカイ二乗統計量を使う2つの検定を紹介しました。どちらも「予想と現実の答え合わせ」で、違うのは予想の作り方だけです。理論から作れば適合度検定、表の合計から作れば独立性の検定になります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• カイ二乗統計量は、期待度数と観測度数のズレを1つにまとめた数。大きいほど $H_0$ に不利で、棄却域は上側だけ。
• 適合度検定は、理論から期待度数を作る。自由度は $k-1$。
• 独立性の検定は、行と列の合計から期待度数を作る。自由度は $(r-1)(c-1)$。
• 期待度数は5以上が目安。計算には比率ではなく度数を使う。
• 2×2の表の $\chi^2$ は、比率の差の検定の $z$ の2乗に等しい。

キーワードのおさらい

• カイ二乗統計量: 観測度数と期待度数のズレを合計した検定統計量
• 観測度数: 実際に観測された度数
• 期待度数: 帰無仮説が正しいとしたときに予想される度数
• 適合度検定: 度数の分布が理論の分布に合っているかを調べる検定
• 独立性の検定: クロス表の2つの変数が独立かを調べる検定

さて、ここまでの検定は「違いがあるか」「関連があるか」を調べるものでした。でも、家賃を決めるのは広さだけではありません。駅からの距離や築年数など、複数の要因を同時に考えたいときはどうすればよいでしょうか？

次回は、単回帰を複数の変数に広げる「回帰分析 — 重回帰モデル」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。