統計学 学習ノート

はじめに

7点の差は教材の効果か、たまたまか

「新しい教材を使ったクラスのほうが平均点が高い。これって教材のおかげ？」

例えば、新しい教材を使ったA組の平均点が75点、これまでの教材のB組が68点だったとしましょう。7点の差があります。でも、もう一度テストをしたら、差は3点になるかもしれません。逆転することだってあるかもしれませんよね。

実は、差の大きさだけを見ても、この問いには答えられません。何人のデータなのか、点数がどれくらい散らばっているのかで、同じ7点の重みが変わるからです。

前回の記事では、「内容量は60gか」のように、1つの母集団を基準の値と比べました。今回は基準の値がありません。比べる相手は、もう1つの母集団です。言わば、1人で記録に挑む競技から、2チームの対戦に変わるイメージです。

そこで登場するのが、今回の主役 母平均の差の検定、母分散の比の検定、母比率の差の検定 です。

今回の記事では、2つの母集団を比べる3種類の検定と、その使い分けについて解説します。

2つを比べるときの考え方

独立な2つの差の分散は、それぞれの分散の和になる

はじめに、3つの検定に共通する考え方について解説します。

結論を一言で言うと、「2つの母集団に違いはない」を帰無仮説にして、標本の差がたまたまで説明できるかを調べます。平均なら $H_0: \mu_1 = \mu_2$、分散なら $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$、比率なら $H_0: p_1 = p_2$ です。

差を測るには、物差しが必要です。ここで、確率変数の記事で学んだ性質を思い出しましょう。独立な2つの確率変数では、差の分散は、それぞれの分散の和になります。

$$V(\bar{X} - \bar{Y}) = V(\bar{X}) + V(\bar{Y})$$

なぜ引き算なのに足し算になるのでしょうか？ 2人でシーソーに乗る場面を想像してください。片方だけが揺れても、両方が揺れても、シーソーの傾きは揺れます。それぞれの揺れが足し合わさって、差の揺れになるのです。

具体的に見てみましょう。標本平均の分散がA組で4、B組で5なら、差の分散は9で、標準誤差は3です。差が7なら物差し約2.3本分、差が3なら物差し1本分です。同じ「差」でも、物差しと比べて初めて大きさが分かります。

なお、平均と比率は差を見ますが、分散だけは比を見ます。分散は「何倍か」で比べる量だからです。

以上が、2つを比べるときの考え方についての解説です。

母平均の差の検定：3つの場合分け

問題文の条件を読み取って、使う式を選ぶ

次に、母平均の差の検定について説明します。

母平均の差の検定 は、2つの正規母集団の母平均が等しいかを調べる検定です。範囲表の言葉で言うと、母平均の差の検定（分散既知、分散未知であるが等分散、分散未知で等しいとは限らない場合）の3つの場合に分かれます。ここでは、大きさ $m$ の標本の平均を $\bar{x}$、大きさ $n$ の標本の平均を $\bar{y}$ とします。

1つずつ見ていきましょう。

1. 分散既知の場合

2つの母分散 $\sigma_1^2$、$\sigma_2^2$ が分かっているときは、次の $z$ を使います。

$$z = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{\sigma_1^2/m + \sigma_2^2/n}}$$

分母は、先ほどの「差の分散は和」をそのまま式にしたものです。$H_0$ のもとで $z$ は標準正規分布に従います。

例えば、2台の機械の製品の重さを比べます。機械Aは母分散36で36個の平均が102g、機械Bは母分散25で25個の平均が99gでした。分母は $\sqrt{36 \div 36 + 25 \div 25} = \sqrt{2}$ なので、$z = 3 \div 1.414 = 2.12$ です。2.12 > 1.96 なので、有意水準5%で差があると判断します。

2. 分散未知であるが等分散の場合

母分散は分からないものの、等しいと考えてよいときは、2つの標本をまとめて共通の分散を見積もります。これが プールした分散 です。

$$s^2 = \frac{(m-1)s_1^2 + (n-1)s_2^2}{m+n-2}$$

$s_1^2$、$s_2^2$ は、それぞれの不偏分散です。言葉で言うと、自由度を重みにした、2つの不偏分散の加重平均です。2人の味見の結果を、味見の回数に応じて混ぜるイメージです。検定統計量は次の形になります。

$$t = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{s\sqrt{1/m + 1/n}}$$

$H_0$ のもとで、$t$ は自由度 $m+n-2$ の t分布に従います。

例題：教材の効果の検定

A組10人の平均が75点で不偏分散が64、B組12人の平均が68点で不偏分散が49でした。母分散は等しいとして、平均に差があるかを有意水準5%で検定しましょう。$t_{0.025}(20) = 2.086$ です。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: \mu_1 = \mu_2$、$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$
2. プールした分散を求める： $s^2 = (9 \times 64 + 11 \times 49) \div 20 = 55.75$
3. 分母を求める： $\sqrt{55.75 \times (1/10 + 1/12)} = 3.197$
4. 検定統計量を計算する： $t = 7 \div 3.197 = 2.19$
5. 2.19 > 2.086 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、平均に差があると言える」です。

3. 分散未知で等しいとは限らない場合

母分散が等しいと言えないときは、プールせず、それぞれの不偏分散をそのまま使います。これが ウェルチの検定 です。

$$t = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{s_1^2/m + s_2^2/n}}$$

この $t$ は、次の自由度 $\nu$ の t分布で近似します。

$$\nu \approx \frac{(s_1^2/m + s_2^2/n)^2}{\dfrac{(s_1^2/m)^2}{m-1} + \dfrac{(s_2^2/n)^2}{n-1}}$$

式は長いですが、$s_1^2/m$ と $s_2^2/n$ の2つの数を入れるだけです。小数になったら、近い整数で分布表を読みます。

具体的に見てみましょう。ある店の売上を比べます。A店は8日分で平均52万円、不偏分散100です。B店は20日分で平均44万円、不偏分散16です。

【ウェルチの検定の計算】

1. $s_1^2/m = 12.5$、$s_2^2/n = 0.8$
2. 検定統計量： $t = 8 \div \sqrt{13.3} = 2.19$
3. 自由度： $\nu = 13.3^2 \div (12.5^2 \div 7 + 0.8^2 \div 19) = 7.9$ なので約8
4. $t_{0.025}(8) = 2.306$ より、2.19 < 2.306 で棄却しない

ここがポイントです。このデータを等分散と決めつけてプールすると、$t = 3.08$、自由度26となり、棄却されてしまいます。ばらつきの大きいA店のほうが標本が少ないのに、B店の小さなばらつきが混ざって、物差しが短くなったからです。

4. 対応のあるデータの場合

最後に、よくある落とし穴を1つ見ておきましょう。同じ8人の睡眠時間を、アプリを使う前と後で測ったとします。これは2つの独立な標本ではなく、1人から2つの値をとった 対応のあるデータ です。

このときは、人ごとの差を計算して、前回学んだ1標本の t検定を使います。差が 20, −5, 15, 30, 10, 25, 5, 20 分なら、平均は15、標準偏差は11.34です。$t = 15 \div (11.34 \div \sqrt{8}) = 3.74$ で、$t_{0.025}(7) = 2.365$ を超えるので、効果があると言えます。

試験のポイント：「分散は既知か」「等分散か」「対応があるか」の3つを問題文から読み取って、式を選びます。自由度もそれぞれ違います。

以上が、母平均の差の検定についての説明です。

母分散の比の検定：どちらが安定しているか

分散は比で比べる。F=6.25は上側の境目3.05を超える

続いて、母分散の比の検定について解説します。

母分散の比の検定 は、2つの正規母集団の母分散が等しいかを調べる検定です。例えば、2人の弓道部員の矢の散らばりを比べて、どちらが安定しているかを調べるようなものです。検定統計量は、不偏分散の比です。

$$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$$

$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ のもとで、$F$ は自由度 $(m-1,\ n-1)$ のF分布に従います。比なので、等しければ1の近くになります。

両側検定では、大きいほうの不偏分散を分子に置く のがコツです。こうすると $F$ は1以上になり、上側 $\alpha/2$ の点と比べるだけで済みます。分子の自由度が先に来る点にも注意しましょう。

例題：売上のばらつきの比較

先ほどのA店（8日分、不偏分散100）とB店（20日分、不偏分散16）の母分散が等しいかを、有意水準5%で検定しましょう。$F_{0.025}(7, 19) = 3.05$ です。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$、$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
2. 大きいほうを分子にする： $F = 100 \div 16 = 6.25$
3. 自由度は分子が7、分母が19
4. 6.25 > 3.05 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、母分散は等しいとは言えない」です。だからこのデータにはウェルチの検定が合うのです。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。教材の例では $F = 64 \div 49 = 1.31$ です。$F_{0.025}(9, 11) = 3.59$ より小さいので棄却されず、等分散の仮定と矛盾しません。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： F分布の下側の点は、自由度を入れ替えた上側の点の逆数で求まります。例えば、下側2.5%点は $1 \div F_{0.025}(19, 7) = 1 \div 4.48 = 0.22$ です。また、最近は等分散の検定を挟まず、最初からウェルチの検定を使う考え方も広まっています。

以上が、母分散の比の検定についての解説です。

母比率の差の検定：2つの割合を比べる

違いがないなら、2つをまとめた比率で物差しを作る

最後に、母比率の差の検定を見ていきましょう。

母比率の差の検定 は、2つの母集団の母比率が等しいかを調べる検定です。例えば、2種類の広告の購入率を比べるときに使います。

前回の検定では、帰無仮説の値 $p_0$ で物差しを作りました。今回は $H_0: p_1 = p_2$ で、具体的な値がありません。そこで、「違いがないなら2つは同じ集団だ」と考えて、全体をまとめた比率 $\hat{p}$ で物差しを作ります。2つの鍋が同じ味なら、1つの鍋にまとめて味見してよい、というイメージです。

$$\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{m + n}$$ $$z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/m + 1/n)}}$$

$x_1$、$x_2$ はそれぞれの該当人数、$\hat{p}_1$、$\hat{p}_2$ はそれぞれの標本比率です。$m$、$n$ が大きいとき、$H_0$ のもとで $z$ は近似的に標準正規分布に従います。

例題：広告の効果の比較

広告Aは200人中60人が購入し、広告Bは300人中66人が購入しました。購入率に差があるかを、有意水準5%で検定しましょう。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: p_1 = p_2$、$H_1: p_1 \neq p_2$
2. 標本比率は $\hat{p}_1 = 0.30$、$\hat{p}_2 = 0.22$
3. まとめた比率は $\hat{p} = 126 \div 500 = 0.252$
4. 分母を求める： $\sqrt{0.252 \times 0.748 \times (1/200 + 1/300)} = 0.0396$
5. 検定統計量を計算する： $z = 0.08 \div 0.0396 = 2.02$
6. 2.02 > 1.96 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、購入率に差があると言える」です。

ここで、区間推定との違いに注意しましょう。比率の差の信頼区間では、$H_0$ を仮定しないので、$\hat{p}$ でまとめず $\hat{p}_1$、$\hat{p}_2$ を別々に使います。

試験のポイント：比率の差の検定の分母は、まとめた比率 $\hat{p}$ で作ります。別々の比率を使う区間推定の式と混同しないようにしましょう。

以上が、母比率の差の検定についての説明です。

細かい場合分けが分からなくなったとしても問題ありません。ここでは、「2つの間に違いはないと仮定して、差や比が物差し何本分かを調べる」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

差は物差しと比べる。物差しの作り方は検定ごとに変わる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は2つの母集団を比べる検定を紹介しました。差が大きく見えても、物差しと比べなければ意味は分かりません。そして、その物差しの作り方は、分散の情報によって変わります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 独立な2標本の差の分散は、それぞれの分散の和になる。
• 母平均の差は、分散既知なら $z$、等分散ならプールした $t$、等分散と言えないならウェルチの $t$ を使う。
• 対応のあるデータは、差をとって1標本の t検定にする。
• 母分散の比は $F$ で調べる。大きいほうを分子に置く。
• 母比率の差は、まとめた比率で物差しを作る。

キーワードのおさらい

• 母平均の差の検定: 2つの母平均が等しいかを、$z$ または $t$ で調べる検定
• プールした分散: 2つの不偏分散を自由度で重みづけした平均
• ウェルチの検定: 等分散を仮定せずに母平均の差を調べる t検定
• 対応のあるデータ: 同じ対象から2つの値をとったデータ
• 母分散の比の検定: 2つの母分散が等しいかを、F分布で調べる検定
• 母比率の差の検定: 2つの母比率が等しいかを、まとめた比率を使った $z$ で調べる検定

さて、今回の比率の検定は「買った・買わない」の2択でした。でも、サイコロの目のように3つ以上の種類があるときや、部活と朝食のように2つの質的変数の関連を調べたいときは、どうすればよいでしょうか？

次回は、カイ二乗統計量を使う「適合度検定と独立性の検定」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。