統計学 学習ノート

はじめに

鍋全体の味は、本当に一口で分かるのだろうか

「味噌汁の味見って、なんでスプーン一杯でいいの？」

鍋いっぱいの味噌汁を全部飲まなくても、よくかき混ぜてあれば、一口で鍋全体の味が分かります。統計の標本調査も同じです。全員を調べなくても、一部を調べれば全体が分かると、3級で学びました。

でも、ここで疑問が残ります。一口の味は、たまたま濃かったり薄かったりしないのでしょうか？ 1,000人のアンケートは、なぜ1億人の代わりになるのでしょうか？

実は、この疑問に答えてくれる数学の定理があります。データを増やすと標本平均がどこへ向かうかを教える定理と、どんな形に集まるかを教える定理です。

そこで登場するのが、今回の主役 大数の法則 と 中心極限定理 です。この2つは、推定と検定のすべてを下から支える土台です。

前回の記事では、代表的な確率分布を学びました。今回の記事では、データから計算した標本平均がどんな分布に従うのかを、2つの定理とともに解説します。

母集団と母数：何を知りたいのか

母数は決まった1つの値、標本平均は毎回変わる

はじめに、言葉の整理をします。

母集団 は、調べたい対象の全体です。標本 は、そこから取り出した一部です。ここまでは3級で学んだとおりです。2級では、これを確率の言葉で言い直します。

母集団の全員の身長を分布で表したとき、その分布の平均や分散を 母数（母平均、母分散） と呼びます。母数とは、母集団の特徴を表す値のことです。記号は母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ です。味噌汁でいえば、鍋全体の本当の濃さです。

ここがポイントです。母数は決まった1つの値ですが、私たちには分かりません。一方、標本から計算する標本平均 $\bar{X}$ は、取り出す標本によって毎回変わります。つまり、標本平均も確率変数なのです。

具体的に見てみましょう。サイコロを10回振って目の平均を出すと、1回目の挑戦は3.2、2回目の挑戦は3.9のように、やるたびに変わります。この「標本平均の値がどう散らばるか」を表す分布を 標本分布 と呼びます。

標本を取り出すときは、次のように考えます。

【標本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ の前提】

1. どの $X_i$ も、母集団と同じ分布に従う（平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$）
2. $X_1, X_2, \dots, X_n$ は互いに独立である

2つ目の独立な観測を、独立試行 と言います。前の結果が次の結果に影響しない試行のことです。サイコロは前の目を覚えていないので、独立試行です。人の調査では、母集団が十分に大きければ、独立だと見なせます。

以上が、母集団と母数についての解説です。

標本平均の期待値・分散

nを4倍にすると、標本平均の標準偏差は半分になる

次に、標本平均の期待値・分散について説明します。

標本平均は $\bar{X} = (X_1 + X_2 + \dots + X_n) / n$ です。前回までに学んだ「和の期待値」と「独立な和の分散」の公式を使うと、次の結果が出ます。

$$E[\bar{X}] = \mu, \qquad V[\bar{X}] = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad D[\bar{X}] = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

記号の意味は、$E$ が期待値、$V$ が分散、$D$ が標準偏差です。言葉で言うと、「標本平均の中心は母平均と同じで、ばらつきは個々のデータの $1/\sqrt{n}$ に縮む」となります。標本平均の標準偏差を 標準誤差 と呼ぶこともあります。

なぜ縮むのでしょうか？ 平均をとると、大きな値と小さな値が打ち消し合うからです。シーソーの両側に人が増えるほど、片側に偏りにくくなるイメージです。

導出もかんたんです。

【分散の導出】

1. 独立なので、和の分散は分散の和： $V[X_1 + \dots + X_n] = n\sigma^2$
2. $n$ で割ると分散は $1/n^2$ 倍： $V[\bar{X}] = n\sigma^2 \div n^2 = \sigma^2 / n$

サイコロの例で計算してみましょう。サイコロの目は $\mu = 3.5$、$\sigma^2 = 35/12 \approx 2.92$ です。

回数 $n$	標本平均の分散	標本平均の標準偏差
10	0.292	0.540
100	0.0292	0.171
400	0.00729	0.0854

100回から400回へ4倍に増やすと、標準偏差はちょうど半分になりました。

例題：標本平均の分布を求める

ある工場のお弁当の重さは、平均200g、標準偏差12gです。9個を無作為に選んだときの標本平均の期待値・分散・標準偏差を求めましょう。

【解き方】

1. 期待値は母平均と同じ： $E[\bar{X}] = 200$
2. 分散は $\sigma^2 / n$： $144 \div 9 = 16$
3. 標準偏差は平方根： $\sqrt{16} = 4$

答えは、期待値200g、分散16、標準偏差4gです。

試験のポイント：精度を2倍にする（標準偏差を半分にする）には、標本の大きさを4倍にする必要があります。

以上が、標本平均の期待値・分散についての説明です。

チェビシェフの不等式と大数の法則

回数を増やすと、標本平均は母平均に近づいていく

続いて、標本平均がどこへ向かうのかを見ていきましょう。

1. チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式 は、分布の形がまったく分からなくても、平均から離れた値の確率に上限をつけられる不等式です。

$$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$$

$k$ は正の数です。言葉で言うと、「平均から標準偏差の $k$ 倍以上離れる確率は、どんな分布でも $1/k^2$ 以下」となります。

例えば、平均60点、標準偏差10点のテストがあるとします。点数の分布が分からなくても、40点以下または80点以上の人は、$k = 2$ として全体の $1/4$ 以下と言えます。同じように、$k = 3$ なら30点以下または90点以上の人は $1/9$ 以下です。

天気予報の「最悪でもこのくらい」という見積もりのようなものです。どんな分布でも成り立つかわりに、上限はかなり大きめです。正規分布なら、$k = 2$ の確率は実際には約0.046で、$1/4$ よりずっと小さいです。

2. 大数の法則

チェビシェフの不等式を標本平均に当てはめると、次の式が得られます。$\varepsilon$ は好きなだけ小さい正の数です。

$$P(|\bar{X} - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$$

右辺は、$n$ を大きくすると0に近づきます。つまり、$n$ が大きくなると、標本平均が母平均から離れる確率はいくらでも小さくなります。これが 大数の法則 です。

サイコロで計算してみましょう。$\varepsilon = 0.1$ とすると、$n = 1{,}000$ なら上限は約0.29、$n = 10{,}000$ なら上限は約0.029です。

味見の話に戻ると、一口でも濃い薄いのぶれはありますが、たくさん味見するほど本当の濃さに近づくのです。保険会社が一人ひとりの事故を予測できなくても、加入者全体の事故率を読めるのも、この法則のおかげです。

ただし、よくある誤解があります。コインで表が5回続いたからといって、次は裏が出やすくなるわけではありません。大数の法則は、過去のズレが打ち消されるのではなく、大量の新しいデータでズレが薄まっていくという法則です。

以上が、チェビシェフの不等式と大数の法則についての解説です。

中心極限定理：どんな形に集まるのか

母集団がどんな形でも、標本平均は釣り鐘型に近づく

次に、推測統計で最も重要な定理について解説します。

大数の法則は「どこに集まるか」を教えてくれました。中心極限定理 は「どんな形で集まるか」を教えてくれます。結論を一言で言うと、次のとおりです。

母集団の分布がどんな形でも、$n$ が大きければ、標本平均は正規分布に近づく。

$$\bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right), \qquad Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \approx N(0, 1)$$

意外ですよね。サイコロの目の分布は山型ではなく平らです。それでも100回の平均をとると、釣り鐘型になります。大勢で綱引きをすると、一人ひとりの力はばらばらでも、全体の結果は真ん中近くに落ち着くのに似ています。

具体的に見てみましょう。サイコロを100回振った平均が3.7以上になる確率を求めます。標本平均は $N(3.5, 0.171^2)$ で近似できるので、$z = (3.7 - 3.5) \div 0.171 \approx 1.17$ です。標準正規分布の上側確率より、約0.12となります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。今度は左右対称ではない分布です。前回の指数分布は、大きく右に裾を引いていました。

例題：中心極限定理で確率を求める

お店の接客時間は、平均5分、標準偏差5分の指数分布に従います。36人の接客時間の平均が6.5分以上になる確率を求めましょう。

【解き方】

1. $n = 36$ は十分大きいので、標本平均は正規分布で近似する
2. 標本平均の標準偏差は $5 \div \sqrt{36} = 5/6$
3. 標準化する： $z = (6.5 - 5) \div (5/6) = 1.8$
4. 標準正規分布表から $P(Z \ge 1.8) = 0.0359$

答えは約0.036です。母集団の形を気にせず計算できました。これが中心極限定理の力です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 母集団がもともと正規分布なら、$n$ がいくつでも標本平均は正確に正規分布に従います。近似が必要なのは、正規分布ではない母集団のときです。歪みの強い分布ほど、大きな $n$ が必要です。

試験のポイント：中心極限定理が言っているのは、標本平均の分布が正規分布に近づくことです。データそのものの分布が正規分布に近づくわけではありません。

以上が、中心極限定理についての解説です。

二項分布の正規近似と連続修正

階段を坂で近似するとき、境目を0.5ずらす

最後に、中心極限定理のいちばんの応用を見ていきましょう。

二項分布の成功回数 $X$ は、ベルヌーイ試行の結果（0か1）の和です。和は平均の $n$ 倍なので、やはり中心極限定理が効きます。これが 二項分布の正規近似 です。

$$X \sim B(n, p) \quad \Rightarrow \quad X \approx N(np,\ np(1-p))$$

近似してよい目安は、$np$ と $n(1-p)$ がどちらも5以上であることです。

ただし、1つだけ注意があります。二項分布は整数しかとらない階段のような分布で、正規分布はなめらかな坂です。階段を坂で近似するので、境目で半分だけずらすと精度が上がります。これを 連続修正（半整数補正）と呼びます。

【連続修正のしかた】

1. $P(X \ge k)$ は、$k - 0.5$ 以上の面積で近似する
2. $P(X \le k)$ は、$k + 0.5$ 以下の面積で近似する

整数の「60」は、なめらかな世界では59.5から60.5までの幅を持っている、と考えるのです。

例題：コインを100回投げる

公平なコインを100回投げて、表が60回以上出る確率を、連続修正を使って求めましょう。

【解き方】

1. 平均と標準偏差を求める： $np = 50$、$\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{25} = 5$
2. 連続修正で境目を59.5にする
3. 標準化する： $z = (59.5 - 50) \div 5 = 1.9$
4. 標準正規分布表から $P(Z \ge 1.9) = 0.0287$

答えは約0.029です。正確な二項分布の値は0.0284なので、とても近いです。連続修正をしないと $z = 2$ で0.0228となり、少しズレます。

また、成功回数を $n$ で割った標本比率 $\hat{p} = X / n$ は、$N(p,\ p(1-p)/n)$ で近似できます。例えば、$p = 0.3$、$n = 400$ なら標準偏差は約0.023です。これは、後の記事の母比率の推定で使います。

以上が、二項分布の正規近似と連続修正についての説明です。

細かい計算が分からなかったとしても問題ありません。ここでは、「標本平均のばらつきは $\sigma / \sqrt{n}$ で、形は正規分布に近づく」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

どこに集まり、どれだけ縮み、どんな形になるか

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は標本平均の性質と、2つの極限定理について紹介しました。一口の味見はぶれますが、そのぶれ方には法則があります。ばらつきは $\sqrt{n}$ 分の1に縮み、形は釣り鐘型になります。だから、全員を調べなくても、誤差の大きさまで含めて全体を語れるのです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 母数は決まった値、標本平均は標本ごとに変わる確率変数。
• 標本平均の期待値は $\mu$、分散は $\sigma^2 / n$。精度を2倍にするには $n$ を4倍にする。
• 大数の法則は「どこに集まるか」。標本平均は母平均に近づく。
• 中心極限定理は「どんな形で集まるか」。母集団の形によらず、標本平均は正規分布に近づく。
• 二項分布は正規分布で近似でき、連続修正で境目を0.5ずらす。

キーワードのおさらい

• 母集団: 調べたい対象の全体
• 母数: 母平均や母分散など、母集団の特徴を表す値
• 独立試行: 前の結果が次の結果に影響しない試行
• チェビシェフの不等式: 平均から $k\sigma$ 以上離れる確率は $1/k^2$ 以下という不等式
• 大数の法則: $n$ が大きいと標本平均が母平均に近づくという法則
• 中心極限定理: $n$ が大きいと標本平均の分布が正規分布に近づくという定理
• 二項分布の正規近似: $B(n, p)$ を $N(np, np(1-p))$ で近似すること
• 連続修正: 離散の値を連続で近似するとき、境目を0.5ずらすこと

さて、中心極限定理には、まだ弱点があります。標準化の式には母標準偏差 $\sigma$ が入っていましたが、現実には $\sigma$ が分からないことのほうが多いですよね。

次回は、$\sigma$ が分からなくても使える「t分布・カイ二乗分布・F分布」と、分布表の使い方について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。