統計学 学習ノート

はじめに

ばらばらに見える偶然も、決まった型で説明できる

「このガチャ、当たりが出るまでに平均で何回引くことになるの？」

ゲームのガチャを回しているとき、こう考えたことはありませんか？ 1回で当たる確率が20%なら、5回引けば必ず当たるような気がします。でも実際には、1回目で当たる人もいれば、15回引いても当たらない人もいますよね。

同じように、「1時間に何人のお客さんが来るか」「次のバスまで何分待つか」「クラスの身長はどう散らばるか」も、毎回ちがう値になります。どれも別々の問題に見えます。

実は、世の中の偶然の多くは、ほんの10種類ほどの「型」で説明できます。

そこで登場するのが、今回の主役である代表的な 確率分布 です。確率分布とは、確率変数がどの値をどれくらいの確率でとるかを表したものです。洋服の既製品のサイズ表のようなもので、場面に合う型を選べば、平均も分散もすぐに分かります。

前回の記事では、確率変数の期待値と分散の計算を学びました。今回の記事では、その計算結果が公式としてまとまった、基礎的な確率分布の特徴と使い分けについて解説します。

成功と失敗を数える分布

同じ試行でも、何を数えるかで分布の名前が変わる

はじめに、成功か失敗かを数える分布について解説します。

土台になるのは ベルヌーイ試行 です。これは、結果が「成功」か「失敗」の2通りしかなく、成功の確率 $p$ が毎回同じで、各回が独立な試行のことです。コイン投げ、くじ引き、シュートの成否を思い浮かべてください。

このベルヌーイ試行を、何に注目して数えるかで、分布の名前が変わります。

【ベルヌーイ試行から生まれる3つの分布】

1. 二項分布: 回数を決めて、成功の回数を数える
2. 幾何分布: 初めて成功する回を数える
3. 負の二項分布: $r$ 回目に成功する回を数える

1つずつ見ていきましょう。

1. 二項分布

3級で学んだ 二項分布 $B(n, p)$ は、$n$ 回のベルヌーイ試行で成功した回数 $X$ の分布です。

$$P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^k (1-p)^{n-k} \quad (k = 0, 1, \dots, n)$$ $$E[X] = np, \qquad V[X] = np(1-p)$$

$p^k(1-p)^{n-k}$ は特定の並び方が起こる確率で、${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ は成功が $k$ 回になる並び方の数です。言葉で言うと、「並び方の数 × 1通りの確率」です。

具体的に見てみましょう。当たる確率が0.2のくじを5回引くとき、ちょうど2回当たる確率は次のようになります。

$$P(X = 2) = {}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 0.2^2 \times 0.8^3 = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048$$

期待値は $5 \times 0.2 = 1$ 回、分散は $5 \times 0.2 \times 0.8 = 0.8$ です。

2. 幾何分布

幾何分布 は、初めて成功するのが何回目かを表す分布です。回数を決めずに「当たるまで引く」ガチャの分布だと考えてください。

$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p \quad (k = 1, 2, \dots)$$ $$E[X] = \frac{1}{p}, \qquad V[X] = \frac{1-p}{p^2}$$

$k$ 回目に初めて当たるには、$k-1$ 回続けて外れて、最後に当たる必要があります。これが式の意味です。

冒頭のガチャなら $p = 0.2$ です。3回目に初めて当たる確率は $0.8^2 \times 0.2 = 0.128$ で、平均は $1 \div 0.2 = 5$ 回です。分散は $0.8 \div 0.04 = 20$ で、標準偏差は約4.5回もあります。「平均5回」でも、大きくぶれるのです。

幾何分布には 無記憶性 という性質もあります。10回外れたあとでも、そこから先の分布は最初と同じです。「そろそろ当たるはず」は成り立ちません。ガチャは過去の外れを覚えていないのです。

3. 負の二項分布

負の二項分布 は、幾何分布を「$r$ 回目の成功まで」に広げたものです。

$$P(X = k) = {}_{k-1}\mathrm{C}_{r-1}\, p^r (1-p)^{k-r} \quad (k = r, r+1, \dots)$$ $$E[X] = \frac{r}{p}, \qquad V[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}$$

最後の $k$ 回目は必ず成功なので、残りの $k-1$ 回のうち $r-1$ 回が成功です。例えば、$p = 0.2$ のガチャで5回目にちょうど2回目の当たりが出る確率は、${}_{4}\mathrm{C}_{1} \times 0.2^2 \times 0.8^3 = 0.08192$ です。平均は $2 \div 0.2 = 10$ 回です。要するに、幾何分布を $r$ 個つなげたものなので、平均も分散も幾何分布の $r$ 倍になります。

試験のポイント：幾何分布と負の二項分布は、「成功までの試行回数」ではなく「成功までの失敗回数」で定義する流儀もあります。失敗回数で数えると平均は $(1-p)/p$、$r(1-p)/p$ になり、分散は同じです。問題文の定義を必ず確かめましょう。

以上が、成功と失敗を数える分布についての解説です。

珍しい出来事と戻さない抽出の分布

まれな回数はポアソン分布、戻さない抽出は超幾何分布

次に、形の違う2つの数え方について説明します。

1. ポアソン分布

ポアソン分布 $Po(\lambda)$ は、一定の時間や範囲の中で、まれな出来事が起こる回数の分布です。1時間の問い合わせ件数、1日の交通事故の件数、1ページの誤字の数などが当てはまります。

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \quad (k = 0, 1, 2, \dots)$$ $$E[X] = \lambda, \qquad V[X] = \lambda$$

$\lambda$（ラムダ）は平均の発生回数で、$e$ は約2.718の定数です。ここがポイントです。ポアソン分布は、期待値と分散がどちらも $\lambda$ で等しくなります。

例えば、1時間に平均2件の問い合わせが来る窓口を考えます。$\lambda = 2$ なので、1件も来ない確率は $e^{-2} \approx 0.135$、ちょうど3件来る確率は $e^{-2} \times 2^3 \div 3! \approx 0.180$ です。

ポアソン分布の正体は、二項分布の極限です。試行回数 $n$ がとても大きく、成功確率 $p$ がとても小さいとき、$np = \lambda$ とおくと、二項分布はポアソン分布に近づきます。1時間を細かい1秒ごとに分けて、「この1秒に問い合わせが来るか」のくじを3,600回引いているイメージです。

せっかくなので、数字で確かめましょう。不良品率0.01の製品を200個調べると、$\lambda = 200 \times 0.01 = 2$ です。不良品が0個の確率は、二項分布では約0.134、ポアソン分布では約0.135となり、ほとんど同じです。

さらに、独立な $Po(\lambda_1)$ と $Po(\lambda_2)$ の和は $Po(\lambda_1 + \lambda_2)$ に従います。午前と午後の件数を足しても、ポアソン分布のままです。

2. 超幾何分布

超幾何分布 は、取り出したものを 戻さない ときの成功の個数の分布です。当たり $M$ 本を含む $N$ 本のくじから $n$ 本を同時に引くとき、当たりの本数 $X$ は次の分布に従います。

$$P(X = k) = \frac{{}_{M}\mathrm{C}_{k} \times {}_{N-M}\mathrm{C}_{n-k}}{{}_{N}\mathrm{C}_{n}}$$ $$E[X] = n \cdot \frac{M}{N}, \qquad V[X] = n \cdot \frac{M}{N}\left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}$$

分母は引き方の総数で、分子は「当たりから $k$ 本、外れから残りを選ぶ」引き方の数です。

例えば、10本のうち3本が当たりのくじを4本引くとします。ちょうど1本当たる確率は、$3 \times 35 \div 210 = 0.5$ です。期待値は $4 \times 0.3 = 1.2$ 本で、分散は $4 \times 0.3 \times 0.7 \times \frac{6}{9} = 0.56$ です。

二項分布との違いは、分散についた $\frac{N-n}{N-1}$ だけです。戻す場合の分散は0.84でした。戻さないと、引いた分だけ箱の中身が確実に分かっていくので、ばらつきが小さくなるのです。全部のくじを引けば、結果はばらつきません。逆に $N$ が $n$ よりずっと大きければ、この係数はほぼ1で、二項分布とほとんど同じになります。

試験のポイント：「戻す」「独立」なら二項分布、「戻さない」「箱の中から同時に」なら超幾何分布です。

以上が、ポアソン分布と超幾何分布についての説明です。

連続型の分布：一様・指数・正規

連続型では、確率はグラフの下の面積で表す

続いて、連続型の3つの分布を見ていきましょう。連続型では、確率は確率密度関数 $f(x)$ のグラフの下の面積で表します。

1. 一様分布

一様分布 $U(a, b)$ は、$a$ から $b$ の範囲のどの値も同じ起こりやすさで出る分布です。

$$f(x) = \frac{1}{b-a} \quad (a \le x \le b), \qquad E[X] = \frac{a+b}{2}, \qquad V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}$$

例えば、10分おきに来るバスの停留所へ、時刻表を見ずに行くとします。待ち時間は $U(0, 10)$ です。平均は5分、分散は $100 \div 12 \approx 8.33$ で、3分以内に来る確率は $3 \div 10 = 0.3$ です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： サイコロの目のように $1, 2, \dots, n$ が同じ確率で出る分布は、離散型の一様分布です。平均は $(n+1)/2$、分散は $(n^2-1)/12$ で、サイコロなら3.5と約2.92です。

2. 指数分布

指数分布 は、次の出来事が起こるまでの待ち時間の分布です。

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0), \qquad P(X > x) = e^{-\lambda x}, \qquad E[X] = \frac{1}{\lambda}, \qquad V[X] = \frac{1}{\lambda^2}$$

指数分布は、ポアソン分布の相棒です。ポアソン分布が「時間を決めて回数を数える」のに対し、指数分布は「次の1回までの時間を測る」のです。同じ現象を、別の角度から見ています。

1時間に平均2件の問い合わせが来る窓口なら、$\lambda = 2$ です。次の問い合わせまでの平均は $1 \div 2 = 0.5$ 時間、つまり30分です。1時間以上来ない確率は $e^{-2} \approx 0.135$ で、さきほどのポアソン分布の「1時間に0件」の確率と同じ値です。同じ出来事を言い換えているだけなので、一致するのは当然です。

指数分布も幾何分布と同じく無記憶性を持ちます。幾何分布は、指数分布の離散版だと考えてください。

3. 正規分布

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ は、平均 $\mu$ を中心とする左右対称の釣り鐘型の分布です。身長や測定誤差が代表例です。

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$$

式を暗記する必要はありません。押さえたい性質は次の3つです。

【正規分布の性質】

1. 標準化: $Z = (X - \mu)/\sigma$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う
2. 範囲の確率: 平均 ± 1σ に約68%、± 2σ に約95%、± 3σ に約99.7% が入る
3. 線形性: $aX + b$ や、独立な正規分布の和も、やはり正規分布に従う

例えば、身長が $N(170, 6^2)$ に従うなら、182cm以上の確率は $z = (182 - 170) \div 6 = 2$ より、約0.023です。

以上が、連続型の分布についての解説です。

2変量正規分布：2つの量をまとめて見る

身長を知ると、体重の予想の幅は8kgから6.4kgへ縮む

次に、2つの量を同時に扱う分布について解説します。

2変量正規分布 は、身長と体重のように、2つの変数 $(X, Y)$ の組が従う正規分布です。平均 $\mu_X, \mu_Y$、分散 $\sigma_X^2, \sigma_Y^2$、相関係数 $\rho$ の5つの値で形が決まります。上から見ると、等高線が楕円の山の形をしています。$\rho$ が大きいほど、楕円は細長く傾きます。

【2変量正規分布の性質】

1. $X$ だけ、$Y$ だけを見ると、それぞれ正規分布に従う
2. $\rho = 0$ なら、$X$ と $Y$ は独立である
3. $X = x$ と分かったときの $Y$ の分布も、正規分布に従う

2つ目が重要です。一般に、無相関でも独立とは限りません。「無相関なら独立」と言えるのは、正規分布の特別な性質です。

3つ目の条件付き分布は、次の式で表されます。

$$Y \mid X = x \ \sim\ N\left(\mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x - \mu_X),\ \sigma_Y^2(1 - \rho^2)\right)$$

具体的に見てみましょう。身長の平均が170cmで標準偏差が6cm、体重の平均が62kgで標準偏差が8kg、相関係数が0.6だとします。身長176cmの人の体重の平均は次のようになります。

$$62 + 0.6 \times \frac{8}{6} \times (176 - 170) = 66.8$$

分散は $64 \times (1 - 0.36) = 40.96$ で、標準偏差は6.4kgです。身長を知ると、体重の予想の標準偏差が8kgから6.4kgへ縮みました。相手の情報が、予想の精度を上げるのです。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。数学が $N(60, 10^2)$、国語が $N(50, 15^2)$ で、相関係数が0.5の2変量正規分布に従うとします。合計点も正規分布に従い、平均は110点です。分散は、前回の和の分散の公式から $100 + 225 + 2 \times 0.5 \times 10 \times 15 = 475$ となります。

以上が、2変量正規分布についての解説です。

分布の選び方

何を数えているかで、メニューから分布を注文する

最後に、ここまでの分布を場面から選ぶ方法を見ていきましょう。

分布	場面	期待値	分散
二項分布	$n$ 回中の成功回数	$np$	$np(1-p)$
幾何分布	初めて成功する回	$1/p$	$(1-p)/p^2$
負の二項分布	$r$ 回目に成功する回	$r/p$	$r(1-p)/p^2$
ポアソン分布	一定時間の発生回数	$\lambda$	$\lambda$
超幾何分布	戻さない抽出の当たり数	$nM/N$	二項分布の分散 × $(N-n)/(N-1)$
一様分布	範囲の中で同じ起こりやすさ	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$
指数分布	次の発生までの待ち時間	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
正規分布	左右対称の山型	$\mu$	$\sigma^2$

レストランのメニュー表のように、まず「何を数えているのか」で分布を注文します。

【分布を選ぶ3つの質問】

1. 回数を数えるのか、時間や長さを測るのか（離散型か連続型か）
2. 試行の回数は決まっているか（二項分布か、幾何分布・負の二項分布か）
3. 取り出したものは戻すのか（二項分布か、超幾何分布か）

例題：分布を選んで計算する

あるコールセンターには、1分間に平均0.5件の電話が来ます。電話の件数はポアソン分布に従うとします。(1) 4分間の件数の期待値と分散はいくらでしょうか？ (2) 次の電話までの平均の待ち時間はいくらでしょうか？ (3) 2分間に1件も来ない確率はいくらでしょうか？

【解き方】

1. 4分間の平均件数は $\lambda = 0.5 \times 4 = 2$ なので、期待値も分散も2
2. 待ち時間は $\lambda = 0.5$ の指数分布なので、平均は $1 \div 0.5 = 2$ 分
3. 2分間の平均件数は1なので、$P(X = 0) = e^{-1} \approx 0.368$

答えは、(1) 期待値2件・分散2、(2) 2分、(3) 約0.368です。

以上が、分布の選び方についての説明です。

細かい式を全部暗記できなくても問題ありません。ここでは、「何を数えている場面か」から分布の名前を言えること、そして期待値と分散を表から引けることを押さえておきましょう。

今回のまとめ

数える、待つ、山型。場面が決まれば型が決まる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は基礎的な確率分布の特徴と使い分けについて紹介しました。ガチャ、窓口、バス停、身長。見た目はばらばらでも、「何を数えているか」で整理すると、どれも決まった型に収まります。型が分かれば、平均も分散も公式から一発で求められます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• ベルヌーイ試行を数える分布が3つある。回数を決めるなら二項分布、当たるまで引くなら幾何分布、$r$ 回当たるまで引くなら負の二項分布。
• ポアソン分布はまれな出来事の回数で、期待値と分散が等しい。指数分布はその待ち時間で、ペアで覚える。
• 戻さない抽出は超幾何分布で、分散が二項分布より小さくなる。
• 正規分布は標準化で扱い、2変量正規分布では無相関なら独立と言える。

キーワードのおさらい

• ベルヌーイ試行: 結果が2通りで、確率が一定の独立な試行
• 二項分布: $n$ 回中の成功回数の分布
• 幾何分布: 初めて成功するまでの回数の分布
• 負の二項分布: $r$ 回目の成功までの回数の分布
• ポアソン分布: 一定時間に起こるまれな出来事の回数の分布
• 超幾何分布: 戻さない抽出での当たりの個数の分布
• 一様分布: 範囲の中でどの値も同じ起こりやすさの分布
• 指数分布: 次の出来事までの待ち時間の分布
• 正規分布: 平均を中心とする左右対称の釣り鐘型の分布
• 2変量正規分布: 2つの変数の組が従う正規分布

さて、ここまでは「1回の観測」が従う分布を見てきました。でも統計の本番は、データをたくさん集めて平均をとるところから始まります。サイコロを1万回振った平均は、どんな値に、どんな形で集まるのでしょうか？

次回は、推測統計を支える2つの定理「大数の法則」と「中心極限定理」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。