統計学 学習ノート

はじめに

売上と事故に関係が見えても、原因とは限らない

「アイスがよく売れる日は、水の事故も多いらしい。アイスを禁止すれば事故は減る？」

もちろん、そんなはずはありませんよね。どちらも、暑い日に増えるだけです。それでも、データだけを見ると、アイスの売上と水の事故の件数には、はっきりした関係が現れます。

数字は正直ですが、その読み方を誤ると、とんでもない結論にたどり着きます。逆に、本当は関係があるのに、データを混ぜたせいで見えなくなることもあります。

実は、3級で学んだ相関係数には、続きがあります。相関係数を計算したあとに、「その関係は本物か」を確かめる道具があるのです。

そこで登場するのが、今回の主役 層別した散布図 と 偏相関係数 です。層別は、データをグループに分けて見ることです。偏相関係数は、第3の変数の影響を取り除いた相関係数です。

前回の記事では、1つの変数の値を比べるために標準化を学びました。今回の記事では、散布図、共分散、相関係数を確認したうえで、層別した散布図、相関行列、みかけの相関の見抜き方について解説します。

散布図と共分散：2つの変数の連動を測る

右上と左下の部屋に点が多いと、共分散はプラス

はじめに、散布図と共分散について解説します。

散布図 は、2つの量的変数の値の組を、横軸と縦軸の平面に点で打ったグラフです。点の並びが右上がりなら 正の相関、右下がりなら 負の相関、はっきりした傾きがなければ 無相関 と言います。

この「右上がりの度合い」を数にするために、3級で学んだ 共分散 を使います。

$$s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

記号の意味は、$x_i, y_i$ が $i$ 番目の組の値、$\bar{x}, \bar{y}$ がそれぞれの平均値です。言葉で言うと、「2つの偏差を掛けて全部足し、$n-1$ で割る」です。2級では、分散と同じく $n-1$ で割る形を使います。

なぜ、偏差を掛けるのでしょうか？ 散布図に、平均値のところで十字の線を引いて考えてみましょう。平面が4つの部屋に分かれます。

【4つの部屋と偏差の積】

• 右上の部屋： $x$ も $y$ も平均より上。積はプラス
• 左下の部屋： $x$ も $y$ も平均より下。積はプラス
• 左上の部屋： $x$ は下、$y$ は上。積はマイナス
• 右下の部屋： $x$ は上、$y$ は下。積はマイナス

右上と左下に点が多ければ、合計はプラスになります。つまり、2人が「一緒に上がり、一緒に下がる」なら共分散は正です。ダンスのペアが同じ向きに動くか、逆に動くかを数えているイメージです。

例題：共分散と相関係数を求める

5人の勉強時間 $x$（時間）と点数 $y$（点）は次のとおりでした。共分散を求めましょう。

$x$	1	2	3	4	5
$y$	50	55	65	60	70

【解き方】

1. 平均値を求める： $\bar{x} = 3$、$\bar{y} = 60$
2. 偏差を求める： $x$ は −2, −1, 0, 1, 2、$y$ は −10, −5, 5, 0, 10
3. 偏差の積を合計する： 20 + 5 + 0 + 0 + 20 = 45
4. $n-1$ で割る： 45 ÷ 4 = 11.25

答えは11.25です。プラスなので、勉強時間が長い人ほど点数が高い傾向があります。

でも、これには弱点があります。共分散は、単位で値が変わるのです。勉強時間を「分」で測り直すと、$x$ の偏差がすべて60倍になるので、共分散は60倍の675になります。関係の強さは何も変わっていないのに、数字だけが大きくなってしまいました。

以上が、散布図と共分散についての解説です。

相関係数：連動の強さを−1から1で表す

相関係数は直線だけを測る。U字の関係では0になる

次に、相関係数について説明します。

共分散の弱点を解決するのが、相関係数 です。共分散を、それぞれの標準偏差で割ります。

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

前回の標準化を思い出してください。相関係数は、$x$ と $y$ を両方とも標準化してから共分散をとったものと同じです。物差しをそろえたので、単位が消えます。

先ほどの例題で計算してみましょう。$s_x^2 = 10 \div 4 = 2.5$、$s_y^2 = 250 \div 4 = 62.5$ なので、次のようになります。

$$r = \frac{11.25}{\sqrt{2.5}\sqrt{62.5}} = \frac{11.25}{12.5} = 0.9$$

相関係数は0.9です。強い正の相関があります。なお、分母と分子の $n-1$ は打ち消し合うので、$n$ で割る流儀でも $r$ は同じ値になります。

相関係数の性質は、試験で繰り返し問われます。1つずつ見ていきましょう。

1. 値の範囲と単位

相関係数は、必ず −1 以上 1 以下です。すべての点が右上がりの直線に乗ると1、右下がりの直線に乗ると −1 です。

また、データを $ax + b$、$cy + d$ と変換しても、$a$ と $c$ が同じ符号なら相関係数は変わりません。$a$ と $c$ の符号が逆なら、絶対値はそのままで符号だけが変わります。例えば、勉強時間を分に直しても、点数を100点満点から200点満点に直しても、$r$ は0.9のままです。

2. 測れるのは直線の関係だけ

相関係数が見ているのは、直線に沿った関係だけです。例えば、$x$ が −2, −1, 0, 1, 2 で $y = x^2$ のとき、$y$ は $x$ で完全に決まっています。ところが、点の並びはU字型で、相関係数を計算すると0になります。

「相関係数が0だから関係がない」とは言えません。だから、数字だけでなく、必ず散布図を描いて確かめます。

3. 外れ値に弱い

相関係数は平均と標準偏差を使うので、外れ値に引っ張られます。先ほどの5人に、「12時間勉強したのに20点だった人」を1人加えてみましょう。すると、相関係数は0.9から約 −0.73 へと、符号まで変わります。たった1点が、シーソーを逆に傾けてしまうのです。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： データの範囲を一部に絞ると、相関係数は小さくなりやすいです。例えば、入学試験の合格者だけで入試の点数と入学後の成績を比べると、全受験者で比べるより相関が弱く見えます。

試験のポイント：相関係数は単位に左右されず、−1から1の値をとり、直線の関係だけを測ります。相関係数が0でも、曲線の関係はあり得ます。

以上が、相関係数についての説明です。

層別した散布図：混ぜると見えなくなるもの

全体は右下がりでも、クラスの中では右上がり

続いて、層別した散布図について解説します。

層別 とは、性別や学年のような別の変数で、データをグループに分けることです。グループごとに色や印を変えて描いた散布図が、層別した散布図 です。

なぜ、グループに分ける必要があるのでしょうか？ 果物の味見に例えてみましょう。ミカンとリンゴを1つのミキサーにかけると、どちらの味も分からなくなりますよね。データも同じで、性質の違うグループを混ぜると、それぞれの関係が消えたり、逆向きになったりするのです。

具体的に見てみましょう。ある塾に、基礎クラスと発展クラスがあります。各5人の1週間の勉強時間と点数を調べました。

クラス	勉強時間（時間）	点数
基礎	6, 7, 8, 9, 10	40, 45, 42, 50, 48
発展	1, 2, 3, 4, 5	70, 75, 72, 80, 78

10人全員で相関係数を計算すると、約 −0.75 になります。このままだと、「勉強するほど点数が下がる」と読めてしまいます。

ところが、クラスごとに計算すると、どちらも約0.81です。つまり、どちらのクラスの中でも、勉強するほど点数は上がっています。

からくりは、こうです。基礎クラスの生徒は、もともとの点数が低く、勉強時間が長い傾向があります。発展クラスはその逆です。この「クラスの差」が全体の傾向に重なって、右下がりの見かけを作っていたのです。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。2つの工場の製品をまとめると、温度と強度に強い相関が見えることがあります。工場Aは高温で強度が高く、工場Bは低温で強度が低いだけで、工場の中では温度と強度が無関係という場合です。この場合は、層別すると相関が消えます。

このように、層別すると関係が消えたり、向きが逆転したりします。散布図に2つ以上のかたまりが見えたら、層別を疑いましょう。

試験のポイント：全体の相関と層別した相関は、大きさも符号も違うことがあります。散布図のかたまりは、層別の合図です。

以上が、層別した散布図についての解説です。

相関行列：たくさんの変数を一覧する

気温の行が強い。ほかの相関の裏に隠れていそう

次に、相関行列について説明します。

変数が3つ以上あると、組み合わせの数だけ相関係数があります。これを一覧にしたものが 相関行列 です。リーグ戦の星取表のように、すべての組み合わせを1枚の表で見られます。

例えば、ある地域の1年間の日別データから、次の相関行列を得たとします。

	気温	アイスの売上	水の事故	温かい飲み物の売上
気温	1.00	0.90	0.85	−0.85
アイスの売上	0.90	1.00	0.80	−0.70
水の事故	0.85	0.80	1.00	−0.60
温かい飲み物の売上	−0.85	−0.70	−0.60	1.00

表の見方はシンプルです。行と列が交わるマスに、その2つの変数の相関係数が書かれています。読むときのコツは2つです。

【相関行列の読み方】

1. 対角線はすべて1： 自分と自分の相関係数は1
2. 対角線の右上と左下は同じ： $x$ と $y$ の相関は、$y$ と $x$ の相関と同じ

つまり、見るべきなのは対角線の片側だけです。この表では、気温とアイスの売上の0.90が最も強い正の相関で、気温と温かい飲み物の売上の −0.85 が最も強い負の相関です。

ここで、気温の行に注目してください。ほかの3つの変数のすべてと、強い関係があります。ほかの変数どうしの相関の裏に、気温が隠れていそうですね。

以上が、相関行列についての説明です。

みかけの相関と偏相関係数：第3の変数を取り除く

気温を取り除くと、相関は0.80から0.15へ

最後に、みかけの相関と偏相関係数を見ていきましょう。

3級で学んだように、2つの変数に直接の関係がないのに、第3の変数の影響で相関が現れることがあります。これを みかけの相関（擬相関） と呼びます。冒頭のアイスと水の事故がその例で、気温という黒幕が、裏で2人を同時に動かしています。操り人形の2体が同じ動きをしても、人形どうしが話し合っているわけではありません。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。小学生の靴のサイズと漢字テストの点数には、正の相関があります。でも、足が大きいから漢字が書けるわけではありません。学年という第3の変数が、どちらも押し上げているのです。

では、黒幕の影響をどうやって取り除くのでしょうか？ 一番分かりやすいのは、同じ学年の子どもだけで比べることです。これは層別です。でも、気温のような量的変数は、きれいに層に分けられません。

そこで使うのが 偏相関係数 です。第3の変数 $z$ の影響を取り除いたときの、$x$ と $y$ の相関係数です。

$$r_{xy \cdot z} = \frac{r_{xy} - r_{xz}r_{yz}}{\sqrt{(1 - r_{xz}^2)(1 - r_{yz}^2)}}$$

記号の意味は、$r_{xy}$ が $x$ と $y$ の相関係数、$r_{xz}$ が $x$ と $z$ の相関係数、$r_{yz}$ が $y$ と $z$ の相関係数です。

言葉で言うと、分子は「$x$ と $y$ の相関から、$z$ を経由した分を引いたもの」です。$r_{xz}r_{yz}$ が $z$ を通じて生まれた相関の分だと考えてください。要するに、「もし気温が同じ日どうしで比べたら、どれくらい相関が残るか」を計算しています。

例題：偏相関係数を求める

先ほどの相関行列を使い、アイスの売上を $x$、水の事故を $y$、気温を $z$ とします。気温の影響を取り除いた偏相関係数を求めましょう。

【解き方】

1. 必要な値を読む： $r_{xy} = 0.80$、$r_{xz} = 0.90$、$r_{yz} = 0.85$
2. 分子を計算する： $0.80 - 0.90 \times 0.85 = 0.80 - 0.765 = 0.035$
3. 分母を計算する： $\sqrt{(1 - 0.81)(1 - 0.7225)} = \sqrt{0.19 \times 0.2775} \approx 0.2296$
4. 割り算をする： $0.035 \div 0.2296 \approx 0.15$

答えは約0.15です。もとの相関係数0.80が、気温の影響を取り除くと0.15まで小さくなりました。つまり、アイスと水の事故の相関のほとんどは、気温によるみかけの相関だったと考えられます。

一方で、相関と因果は別物です。偏相関係数が大きく残っていても、それだけで「原因と結果」が示されたわけではありません。まだ測っていない別の黒幕がいるかもしれないからです。

試験のポイント：偏相関係数の公式に数値を入れる問題が出ます。$x$、$y$、$z$ のどれが取り除く変数かを確かめてから代入します。

以上が、みかけの相関と偏相関係数についての説明です。

公式を一度で覚えられなくても問題ありません。ここでは、「相関を見たら、裏に第3の変数がいないかを疑う」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

散布図を描き、グループに分け、黒幕を探す

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は2つの変数の関係を見る散布図と相関について紹介しました。相関係数は便利ですが、計算して終わりではありません。散布図を描き、グループに分け、黒幕を探して、初めてその関係が本物かどうかが判断できます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 共分散は偏差の積の平均。連動の向きは分かるが、単位で値が変わる。
• 相関係数は共分散を標準偏差で割った値。−1から1の間で、直線の関係だけを測る。
• 層別すると、関係が消えたり逆転したりする。ミカンとリンゴを一緒にしない。
• 相関行列は、すべての組み合わせの星取表。対角線は1で、左右対称。
• みかけの相関の黒幕は、偏相関係数であぶり出せる。

キーワードのおさらい

• 散布図: 2つの量的変数の組を点で打ったグラフ
• 共分散: 2つの変数の偏差の積の合計を $n-1$ で割った値
• 相関係数: 共分散をそれぞれの標準偏差で割った、−1から1の値
• 層別した散布図: グループごとに分けて描いた散布図
• 相関行列: 複数の変数の相関係数を一覧にした表
• みかけの相関（擬相関）: 第3の変数の影響で現れる、直接の関係のない相関
• 偏相関係数: 第3の変数の影響を取り除いた相関係数

さて、ここまでは数値のデータの関係を見てきました。でも、「朝ごはんを食べるかどうか」と「テストに合格したかどうか」のように、数値ではないデータの関係は、相関係数では測れません。

次回は、質的変数どうしの関連を表で調べる「カテゴリカルデータ」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。