統計学 学習ノート

はじめに

物差しが違うと、点数をそのまま比べられない

「英語は72点、数学は80点。得意なのはどっち？」

点数だけを見れば、数学のほうが上です。でも、テストの難しさが違えば、そう簡単には言えませんよね。英語の平均点が60点、数学の平均点が68点なら、どちらも平均より12点上です。これで引き分けでしょうか？

さらに、散らばりも違うとしたらどうでしょうか？ 英語は標準偏差が10点で、みんな平均の近くにいます。数学は標準偏差が15点で、点数が広がっています。すると、同じ12点でも、英語の12点のほうが「めずらしい」高得点だと言えそうです。

実は、違う物差しで測った数字は、そのままでは比べられません。メートルとフィートの長さを、数字だけで比べられないのと同じです。比べるには、物差しをそろえる必要があります。

そこで登場するのが、今回の主役 標準化 です。標準化とは、データを「平均から標準偏差いくつぶん離れているか」に直すことです。

前回の記事では、分散や標準偏差など、散らばりの指標を学びました。今回の記事では、標準偏差の意味を確かめたうえで、標準化、変動係数、指数化という3つの「比べるための道具」について解説します。

偏差と標準偏差：データを測る物差し

ベル型なら平均±1標準偏差に約68%が入る

はじめに、偏差と標準偏差の意味について解説します。

偏差 は、各データと平均値の差です。

$$\text{偏差} = x_i - \bar{x}$$

プラスなら平均より上、マイナスなら平均より下です。平均さんの家から、東へ何歩、西へ何歩のところに住んでいるかを表すイメージです。

ただ、「12点上」と言われても、それが大きいのか小さいのかは分かりません。みんなが平均のすぐそばに住む村なら、12歩は遠い場所です。みんなが遠くに散らばる村なら、すぐご近所です。

そこで、標準偏差が物差しになります。標準偏差は、その村の「典型的な距離」でした。これを1目盛りとして測れば、どの村でも遠さを同じ基準で語れます。

では、標準偏差の1目盛りは、どれくらいの意味を持つのでしょうか？ 分布がベル型（正規分布に近い形）のときは、次の目安が成り立ちます。

【ベル型の分布の目安】

• 平均 ± 1 標準偏差の範囲に、全体の約68%が入る
• 平均 ± 2 標準偏差の範囲に、全体の約95%が入る
• 平均 ± 3 標準偏差の範囲に、全体の約99.7%が入る

具体的に見てみましょう。1,000人が受けたテストの平均点が60点、標準偏差が10点で、分布がベル型だったとします。50点から70点の間に約680人、40点から80点の間に約950人、30点から90点の間に約997人がいることになります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。おにぎりを作る機械があり、重さの平均が100g、標準偏差が2gだとします。すると、ほとんど（約95%）のおにぎりは96gから104gの間に収まります。もし110gのおにぎりが出てきたら、平均から標準偏差5つぶんも離れています。「たまたま」とは考えにくく、機械の異常を疑う場面です。

例題：標準偏差の目安から割合を求める

ある検定試験の得点は、平均500点、標準偏差100点のベル型の分布でした。700点以上の人は、およそ何%いるでしょうか？

【解き方】

1. 700点が標準偏差いくつぶんかを求める： (700 − 500) ÷ 100 = 2
2. 平均 ± 2 標準偏差の範囲に約95%が入るので、外側は約5%
3. ベル型は左右対称なので、上側はその半分： 5 ÷ 2 = 2.5

答えは約2.5%です。正規分布の表を使うと、より正確には約2.3%になります。

ここで注意が必要です。この目安は、ベル型のときの話です。右に裾が長い分布などには、そのまま当てはめられません。

試験のポイント：「約68%・約95%・約99.7%」はベル型の分布の目安です。分布の形を確かめてから使います。

以上が、偏差と標準偏差の意味についての解説です。

標準化：z得点で物差しをそろえる

標準偏差を1目盛りにすると、英語が数学を逆転する

次に、標準化について説明します。

標準化 は、偏差を標準偏差で割って、「標準偏差いくつぶん離れているか」に直す操作です。こうして得られた値を z得点（標準得点）と呼びます。

$$z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s}$$

記号の意味は、$x_i$ が元の値、$\bar{x}$ が平均値、$s$ が標準偏差です。言葉で言うと、「平均を引いて、標準偏差で割る」です。

冒頭の点数を、標準化してみましょう。

• 英語： $(72 - 60) \div 10 = 1.2$
• 数学： $(80 - 68) \div 15 = 0.8$

英語のz得点は1.2、数学は0.8です。つまり、集団の中での位置は英語のほうが高いと分かります。元の点数は数学のほうが高いのに、順位が逆転しました。

1. データを変換すると何が起きるか

標準化の性質を理解するために、まず変換の決まりを整理しましょう。データを $y_i = ax_i + b$ と変換すると、次のようになります。

$$\bar{y} = a\bar{x} + b, \quad s_y = \lvert a \rvert s_x, \quad s_y^2 = a^2 s_x^2$$

言葉で言うと、足し算は平均値だけを動かし、散らばりを変えません。掛け算は平均値と散らばりの両方を変えます。

例えば、全員に5点を足しても、列全体がそのまま横へ動くだけなので、人と人の距離は変わりません。一方で、全員の点数を2倍すると、人と人の距離も2倍になり、分散は4倍になります。

2. 標準化した値の平均と分散

標準化は、$a = \frac{1}{s}$、$b = -\frac{\bar{x}}{s}$ とした変換です。先ほどの決まりに当てはめると、次のようになります。

$$\bar{z} = \frac{\bar{x}}{s} - \frac{\bar{x}}{s} = 0, \quad s_z = \frac{s}{s} = 1$$

つまり、標準化すると、どんなデータでも平均が0、標準偏差が1になります。単位も消えて、ただの数になります。あらゆるテストを「平均0、1目盛りが標準偏差」の共通の物差しに移したわけです。

小さな数値で確かめてみましょう。データ 2, 4, 6 は、平均値が4、分散が $(4 + 0 + 4) \div 2 = 4$、標準偏差が2です。標準化すると −1, 0, 1 になり、平均は0、分散は $(1 + 0 + 1) \div 2 = 1$ です。

3. 偏差値

3級で学んだ 偏差値 は、z得点を見やすく変換したものです。

$$\text{偏差値} = 50 + 10z$$

平均が50、標準偏差が10になるように変換しています。マイナスや小数が出にくいように、z得点に化粧をしたイメージです。冒頭の例では、英語の偏差値が $50 + 10 \times 1.2 = 62$、数学の偏差値が $50 + 10 \times 0.8 = 58$ です。

例題：2人の成績を比べる

統計学のテストは平均70点、標準偏差8点でした。物理のテストは平均55点、標準偏差12点でした。Aさんは統計学で82点、Bさんは物理で73点をとりました。集団の中での位置が高いのはどちらでしょうか？

【解き方】

1. Aさんのz得点を求める： (82 − 70) ÷ 8 = 1.5
2. Bさんのz得点を求める： (73 − 55) ÷ 12 = 1.5
3. 2つを比べる

答えは、どちらも同じです。z得点が1.5なので、どちらも偏差値は65です。

試験のポイント：標準化した値の平均は0、標準偏差は1です。データに $ax + b$ の変換をしても、$a > 0$ なら z得点は変わりません。

以上が、標準化についての説明です。

変動係数：平均の大きさをそろえて散らばりを比べる

平均に対する比で見ると、ネズミの個体差が大きい

続いて、変動係数について解説します。

標準化は、1人の位置を比べる道具でした。一方で、グループ全体の散らばりを比べたいときもあります。例えば、「身長と体重では、どちらのほうが個人差が大きいか」という問いです。

標準偏差をそのまま比べるのは危険です。単位がセンチメートルとキログラムで違いますし、値の大きさも違います。

別の例で考えてみましょう。ゾウの体重の標準偏差が200kg、ネズミの体重の標準偏差が5gだとします。ゾウのほうが数字はずっと大きいのですが、ゾウの平均体重は5,000kg、ネズミの平均体重は30gです。200kgはゾウの4%の差ですが、5gはネズミの約17%の差です。比率で見ると、ネズミのほうが個体差は大きいのです。

この考え方を式にしたものが、変動係数（Coefficient of Variation、CV）です。

$$CV = \frac{s}{\bar{x}}$$

言葉で言うと、「標準偏差が平均値の何倍か」です。100を掛けて%で表すことも多いです。単位は打ち消し合って消えるので、単位の違うデータどうしでも比べられます。

例題：変動係数で散らばりを比べる

ある高校の男子の身長は平均170cm、標準偏差6cm、体重は平均60kg、標準偏差9kgでした。相対的に散らばりが大きいのはどちらでしょうか？

【解き方】

1. 身長の変動係数を求める： 6 ÷ 170 ≒ 0.035（3.5%）
2. 体重の変動係数を求める： 9 ÷ 60 = 0.15（15%）
3. 2つを比べる

答えは体重です。平均に対する散らばりは、体重が身長の4倍以上あります。

ただし、変動係数はどんなデータにも使えるわけではありません。3級で学んだ比例尺度のように、0が「何もない」ことを意味する、正の値のデータに使います。

例えば、摂氏の気温は0℃でも「温度がない」わけではありません。平均気温が0℃に近いと分母が0に近づき、変動係数はいくらでも大きくなってしまいます。同じ気温でも、摂氏と華氏で値が変わるので、比べる意味がありません。

試験のポイント：単位や平均の大きさが違うグループの散らばりは、変動係数で比べます。使えるのは比例尺度の正の値のデータです。

以上が、変動係数についての解説です。

指数化：基準を100にして変化を比べる

基準を100にそろえると、B店の伸びが速いと分かる

最後に、指数化について見ていきましょう。

ここまでは、同じ時点のデータを比べてきました。今度は、時間の変化を比べます。

2つのお店の売上の伸びを比べたいとします。A店の売上は200万円、220万円、260万円と動きました。B店は50万円、60万円、70万円です。金額の増え方はA店のほうが大きいのですが、店の規模が違うので、どちらが「伸びている」のかが分かりません。

そこで、スタートラインをそろえます。徒競走で、全員を同じ線に立たせるイメージです。これが 指数化 です。基準の時点の値を100として、ほかの時点の値を表します。

$$\text{指数} = \frac{\text{比較時点の値}}{\text{基準時点の値}} \times 100$$

1年目を基準にして、2つのお店を指数化してみましょう。

	1年目	2年目	3年目
A店の売上（万円）	200	220	260
A店の指数	100	110	130
B店の売上（万円）	50	60	70
B店の指数	100	120	140

金額の増加はA店の60万円に対してB店は20万円ですが、指数で見ると、B店のほうが速く伸びていることが分かります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。公的統計の記事で登場した消費者物価指数も、基準の年を100とした指数です。指数が105なら、基準の年より物価が5%高いことを表します。単位の違う多くの品目の価格の動きをまとめて語れるのも、指数の強みです。

指数には、2つの注意点があります。1つ目は、基準の時点の選び方です。売上が異常に少なかった年を基準にすると、その後の伸びが大きく見えてしまいます。基準を変えるときは、全時点の値を新しい基準の値で割り直します。

2つ目は、「ポイント」と「%」の違いです。

例題：指数の変化を読む

ある商品の価格指数が、120から132に上がりました。上昇率は何%でしょうか？

【解き方】

1. 指数の差を求める： 132 − 120 = 12。これは12ポイントの上昇
2. もとの指数で割る： 12 ÷ 120 = 0.1

答えは10%です。指数の差の12ポイントと、上昇率の10%は別のものです。もとの指数が100のときだけ、2つの数字が一致します。

試験のポイント：指数の差は「ポイント」、変化の割合は「%」です。上昇率は、比較のもとになる時点の指数で割って求めます。

3つの道具を、最後に並べておきましょう。

【比べるための3つの道具】

• 標準化： 集団の中での1人の位置を比べる
• 変動係数： 単位や大きさの違うグループの散らばりを比べる
• 指数化： 規模の違う系列の時間変化を比べる

以上が、指数化についての説明です。

式の変形を覚えられなくても問題ありません。ここでは、「そのままでは比べられない数字も、基準をそろえれば比べられる」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

位置、散らばり、変化を割り算の物差しで比べる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は中心と散らばりの指標を活用して、数字を比べる方法について紹介しました。標準偏差で割る、平均で割る、基準の値で割る。どれも「割り算で物差しをそろえる」という、同じ発想の道具です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 偏差は平均からの差。標準偏差はそれを測る1目盛り。ベル型なら ±1, ±2, ±3 標準偏差に約68%, 95%, 99.7%が入る。
• 標準化はz得点に直す操作。平均0、標準偏差1の共通の物差しになる。
• 変換 $ax + b$ で、平均値は $a\bar{x} + b$、標準偏差は $\lvert a \rvert s$ になる。
• 変動係数は標準偏差 ÷ 平均値。単位や規模の違う散らばりを比べられる。
• 指数化は基準を100にそろえる操作。ポイントと%を区別する。

キーワードのおさらい

• 偏差: 各データと平均値の差
• 標準化（z得点）: 平均を引いて標準偏差で割り、平均0、標準偏差1にする操作。得られた値がz得点
• 偏差値: z得点を 50 + 10z に変換した値
• 変動係数: 標準偏差を平均値で割った値
• 指数化: 基準の時点の値を100として、ほかの時点の値を表すこと

さて、ここまでは1つの変数を調べてきました。でも、世の中で本当に知りたいのは、「勉強時間が増えると、点数は上がるのか」のような、2つの変数の関係ですよね。

次回は、2つの変数の連動を調べる「散布図と相関」について紹介します。3級で学んだ相関係数に、見かけの関係を見抜く方法を加えます。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。