統計学 学習ノート

はじめに

賞金と確率を合わせて、平均していくら戻るかを考える

「このくじ、1回100円らしいけど、引いて得なの？」

お祭りのくじ引きで、こう悩んだことはありませんか？ 大当たりなら500円、小当たりなら100円、外れれば0円。確率が分かっていても、それだけでは得か損かは分かりません。賞金と確率を合わせて、「平均していくら戻ってくるか」を考える必要があります。

前回の記事では、確率のルールを学びました。そこでは「当たる」「陽性になる」のように、結果を言葉で扱いました。今回は、結果に数を割り当てます。3級で学んだ確率変数の平均・分散を、2級では2つの変数の組み合わせにまで広げます。

実は、結果を数にすると、計算の世界が一気に広がります。平均も、散らばりも、相関も、これまでデータで学んだことがそのまま確率の世界に持ち込めるのです。

そこで登場するのが、今回の主役 確率変数 です。今回の記事では、離散型と連続型の確率変数、期待値・分散・標準偏差、同時分布と共分散・相関、そして確率変数の和と差について解説します。

確率変数：結果を数にする

離散型は積み木、連続型は砂の山。確率は範囲の面積

はじめに、確率変数とは何かについて解説します。

確率変数（random variable） とは、試行の結果によって値が決まり、その値の出方が確率で定まる変数のことです。例えば、サイコロの目 $X$ は、振る前は1から6のどれか分かりません。でも、それぞれの値の確率は決まっています。

例えるなら、確率変数は中身の見えない福袋です。開けるまで中身の金額は分かりませんが、どんな金額がどの割合で入っているかは、表に書いてあります。

確率変数は大文字の $X$、実際にとる値は小文字の $x$ で書きます。確率変数は、値のとり方で2種類に分かれます。1つずつ見ていきましょう。

1. 離散型確率変数

離散型確率変数 は、サイコロの目やガチャの回数のように、とびとびの値をとる確率変数です。それぞれの値の確率を、次の 確率関数 で表します。

$$P(X = x_i) = p_i, \qquad \sum_i p_i = 1$$

例えば、冒頭のくじの賞金 $X$ が次のようだとします。

賞金 $x$（円）	0	100	500
確率 $p$	0.5	0.3	0.2

確率を全部足すと1になります。この値と確率の組み合わせ全体を、確率分布 と言います。

2. 連続型確率変数

連続型確率変数 は、身長や待ち時間のように、連続した値をとる確率変数です。ここで注意が必要です。待ち時間がちょうど3.000…分になる確率は0です。そこで、連続型では「ある範囲に入る確率」を考えます。

連続型の分布は 確率密度関数 $f(x)$ で表します。確率は、曲線の下の面積です。

$$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) \, dx, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$$

離散型が積み木の山だとすると、連続型はなめらかな砂の山です。ある範囲の砂の量が、その範囲の確率です。砂の総量は1で、1点の上に砂の量はありません。

例えば、10分おきに来るバスの待ち時間 $X$ が、0分から10分のどの値も同じように出るとします。$f(x) = 1/10$ の平らな分布です。2分から5分待つ確率は、長方形の面積なので、(5 − 2) × 1/10 = 0.3 です。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。$f(x) = 2x$（$0 \le x \le 1$）のとき、$X$ が0.5以下になる確率は次のとおりです。

$$P(X \le 0.5) = \int_0^{0.5} 2x \, dx = \Big[ x^2 \Big]_0^{0.5} = 0.25$$

このように「$x$ 以下になる確率」を表す関数 $F(x) = P(X \le x)$ を、累積分布関数 と呼びます。

以上が、確率変数についての解説です。

確率変数の期待値・分散・標準偏差

分布がつり合う支点が期待値。くじの期待値は130円

次に、確率分布の中心と散らばりを表す指標について説明します。

期待値（expected value） は、確率変数の平均です。何度もくり返したときに平均していくらになるかを表し、$E[X]$ または $\mu$ と書きます。

$$E[X] = \sum_i x_i p_i, \qquad E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$

左が離散型、右が連続型です。言葉で言うと、「値 × 確率」を全部足します。分布を板の上に置いたときに、シーソーがつり合う支点の位置が期待値です。

分散（variance） は、期待値からのズレの2乗の期待値です。$V[X]$ または $\sigma^2$ と書きます。標準偏差 は、その平方根です。

$$V[X] = E\big[(X - \mu)^2\big] = E[X^2] - \mu^2, \qquad \sigma = \sqrt{V[X]}$$

2つ目の「2乗の期待値から、期待値の2乗を引く」という式が、計算では便利です。

例題：くじの期待値と標準偏差

冒頭のくじの賞金 $X$ の、期待値・分散・標準偏差を求めましょう。

【解き方】

1. 期待値： $E[X] = 0 \times 0.5 + 100 \times 0.3 + 500 \times 0.2 = 130$
2. 2乗の期待値： $E[X^2] = 0 + 10000 \times 0.3 + 250000 \times 0.2 = 53000$
3. 分散： $V[X] = 53000 - 130^2 = 36100$
4. 標準偏差： $\sigma = \sqrt{36100} = 190$

答えは、期待値130円、分散36,100、標準偏差190円です。1回100円なら、平均して30円得をするくじです。ただし、標準偏差が190円もあるので、1回ごとの結果は大きく揺れます。

連続型でも、手順は同じです。$f(x) = 2x$（$0 \le x \le 1$）で計算してみましょう。

【連続型の計算】

1. 期待値： $E[X] = \int_0^1 x \cdot 2x \, dx = 2/3$
2. 2乗の期待値： $E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 2x \, dx = 1/2$
3. 分散： $V[X] = 1/2 - (2/3)^2 = 1/18$

さらに、確率変数を $aX + b$ に変換したときの公式も大切です。

$$E[aX + b] = aE[X] + b, \qquad V[aX + b] = a^2 V[X]$$

足した定数 $b$ は全体を平行移動するだけなので、散らばりは変わりません。また、$a$ 倍すると散らばりの幅が $a$ 倍になるので、分散は2乗の $a^2$ 倍になります。標準偏差は $|a|$ 倍です。

例えば、くじの賞金を2倍して10円足すと、期待値は 2 × 130 + 10 = 270 円、標準偏差は 2 × 190 = 380 円です。また、$Z = (X - \mu)/\sigma$ と変換すると、期待値0、分散1になります。これがデータで学んだ標準化の確率変数版です。

試験のポイント：$V[aX + b] = a^2 V[X]$ です。定数 $b$ は消え、$a$ は2乗になります。

以上が、確率変数の期待値・分散・標準偏差についての説明です。

同時分布と2変数の共分散・相関

同時分布の表から、足並みのそろい方を共分散と相関で測る

続いて、2つの確率変数をまとめて扱う方法について解説します。

身長と体重のように、2つの確率変数を同時に考えたい場面はよくあります。$X = x$ かつ $Y = y$ となる確率の全体を 同時分布 と呼びます。3級で学んだクロス集計表の、確率版だと考えてください。

例えば、朝ごはんを食べたら $X = 1$、食べなければ $X = 0$、小テストに合格したら $Y = 1$、不合格なら $Y = 0$ とします。

	$Y = 0$	$Y = 1$	合計
$X = 0$	0.3	0.2	0.5
$X = 1$	0.1	0.4	0.5
合計	0.4	0.6	1

表の見方を説明します。真ん中の4つの数が同時確率です。例えば、$P(X = 1, Y = 1) = 0.4$ です。右端と下端の合計は、それぞれ $X$ だけ、$Y$ だけの分布で、周辺分布 と言います。

すべての $x, y$ について $P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y)$ が成り立つとき、$X$ と $Y$ は 独立 です。この例では、$P(X = 1, Y = 1) = 0.4$ で、$0.5 \times 0.6 = 0.3$ と異なるので、独立ではありません。

では、2変数の共分散・相関を定義しましょう。3級で学んだデータの共分散と同じ考え方です。

$$\mathrm{Cov}[X, Y] = E\big[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\big] = E[XY] - E[X] E[Y]$$ $$\rho = \frac{\mathrm{Cov}[X, Y]}{\sigma_X \sigma_Y}$$

共分散は、2つの変数が一緒に動く向きを表します。それを −1 から1の範囲にそろえたものが、相関係数 $\rho$（ロー）です。二人三脚に例えると、共分散は足並みのそろい方で、相関係数はそれを点数にしたものです。

例題：同時分布から共分散と相関係数を求める

表の $X$ と $Y$ の共分散と相関係数を求めましょう。

【解き方】

1. 期待値： $E[X] = 0.5$、$E[Y] = 0.6$
2. 積の期待値： $XY = 1$ となるのは $X = 1, Y = 1$ だけなので、$E[XY] = 0.4$
3. 共分散： $0.4 - 0.5 \times 0.6 = 0.1$
4. 分散： $V[X] = 0.5 - 0.5^2 = 0.25$、$V[Y] = 0.6 - 0.6^2 = 0.24$
5. 相関係数： $\rho = 0.1 \div \sqrt{0.25 \times 0.24} \approx 0.41$

答えは、共分散0.1、相関係数約0.41です。正の相関があると読めます。

ここで大切な注意があります。独立なら共分散は0ですが、逆は成り立ちません。例えば、$X$ が −1, 0, 1 を確率 $1/3$ ずつとり、$Y = X^2$ とします。$E[XY] = E[X^3] = 0$、$E[X] = 0$ なので、共分散は0です。でも、$Y$ は $X$ で完全に決まるので、独立ではありません。共分散が測れるのは、直線的な関係だけなのです。

試験のポイント：独立ならば無相関ですが、無相関でも独立とは限りません。

以上が、同時分布と共分散・相関についての解説です。

確率変数の和と差：散らばりは足し算になる

標準偏差ではなく分散を足す。64 + 36 = 100で、標準偏差は10

最後に、確率変数の和と差（同時分布、和の期待値・分散）を見ていきましょう。同時分布が分かれば、2つの変数を足した値や引いた値の性質も計算できます。

国語と数学の合計点のように、2つの確率変数を足した値を考えることがあります。期待値は、とても素直です。

$$E[X + Y] = E[X] + E[Y], \qquad E[X - Y] = E[X] - E[Y]$$

この式は、独立でなくても、いつでも成り立ちます。

一方で、分散には共分散の項がつきます。

$$V[X \pm Y] = V[X] + V[Y] \pm 2 \, \mathrm{Cov}[X, Y]$$

$X$ と $Y$ が独立なら共分散が0なので、和も差も同じ式になります。

$$V[X + Y] = V[X - Y] = V[X] + V[Y]$$

ここがポイントです。差の分散も、足し算です。なぜでしょうか？ 2人が別々に歩いて、距離の差を測るとします。どちらの歩幅が揺れても、差は揺れます。揺れは打ち消し合わず、積み重なるのです。

具体的に見てみましょう。国語の点数 $X$ が平均60点、標準偏差8点、数学の点数 $Y$ が平均55点、標準偏差6点だとします。

【和と差の計算（独立のとき）】

• 合計の期待値： 60 + 55 = 115
• 差の期待値： 60 − 55 = 5
• 和と差の分散： $8^2 + 6^2 = 100$
• 和と差の標準偏差： $\sqrt{100} = 10$

標準偏差は8 + 6 = 14ではなく、10です。標準偏差を足すのではなく、分散を足すことに注意しましょう。

もし相関係数が0.5なら、どうなるでしょうか？ 共分散は 0.5 × 8 × 6 = 24 です。合計の分散は 100 + 2 × 24 = 148 で、標準偏差は約12.2に増えます。差の分散は 100 − 48 = 52 で、標準偏差は約7.2に減ります。同じ向きに動く2つを足すと揺れが増え、引くと揺れが減るのです。

例題：同時分布から和と差の分散を求める

朝ごはんと小テストの表の $X, Y$ について、$V[X + Y]$ と $V[X - Y]$ を求めましょう。

【解き方】

1. 分散と共分散： $V[X] = 0.25$、$V[Y] = 0.24$、$\mathrm{Cov}[X, Y] = 0.1$
2. 和の分散： $0.25 + 0.24 + 2 \times 0.1 = 0.69$
3. 差の分散： $0.25 + 0.24 - 2 \times 0.1 = 0.29$

答えは、$V[X + Y] = 0.69$、$V[X - Y] = 0.29$ です。

確かめてみましょう。$X + Y$ は0, 1, 2を確率0.3, 0.3, 0.4でとります。期待値は1.1で、2乗の期待値は1.9なので、分散は 1.9 − 1.21 = 0.69 と、公式に一致します。

和の公式は、3つ以上にも広がります。互いに独立で、同じ期待値 $\mu$、分散 $\sigma^2$ を持つ $X_1, \ldots, X_n$ の平均 $\bar{X}$ については、次の式が成り立ちます。

$$E[\bar{X}] = \mu, \qquad V[\bar{X}] = \frac{\sigma^2}{n}$$

例えば、サイコロの目の分散は $35/12$ なので、2個のサイコロの目の和の分散は $35/6 \approx 5.83$ です。そして、$n$ 個の平均をとると、分散は $1/n$ に小さくなります。これが、標本平均のぶれの正体です。

以上が、確率変数の和と差についての説明です。

細かい計算を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「期待値は素直に足し引き、分散は足し算に共分散を添える」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

値と確率から支点を求め、和と差では分散を足す

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、結果を数として扱う確率変数と、その計算のルールについて紹介しました。データの平均・分散・相関で学んだことが、確率の世界で同じ形で働いています。特に分散の足し算は、この先の標本平均や検定の土台になります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 確率変数は中身の見えない福袋。離散型は積み木、連続型は砂の山で、確率は面積になる。
• 期待値は分布のつり合う支点。分散は $E[X^2] - \mu^2$ で計算できる。
• $V[aX + b] = a^2 V[X]$。定数は消え、掛けた数は2乗になる。
• 共分散は足並みのそろい方。独立なら無相関だが、逆は成り立たない。
• 期待値はそのまま足し引き。独立なら、和でも差でも分散は足し算。

キーワードのおさらい

• 離散型確率変数: とびとびの値をとる確率変数
• 連続型確率変数: 連続した値をとり、確率密度関数で表す確率変数
• 期待値: 値と確率の積の合計で、確率変数の平均
• 分散: 期待値からのズレの2乗の期待値
• 標準偏差: 分散の平方根
• 同時分布: 2つの確率変数の値の組み合わせの確率
• 共分散: 2つの確率変数が一緒に動く向きと大きさ
• 相関係数: 共分散を2つの標準偏差で割った、−1 から1の値

さて、今回の分布は、くじのように自分で表を作ったものでした。でも、世の中には、コイン投げの回数や待ち時間など、何度も現れる決まった形の分布があります。

次回は、二項分布やポアソン分布、正規分布など、基礎的な「確率分布」の特徴について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。