統計学 学習ノート

はじめに

銛は1点を狙い、網は幅で捕まえる

「内閣支持率42%って言うけど、本当にぴったり42%なの？」

ニュースの世論調査を見て、こう思ったことはありませんか？ 調べたのは1,000人ほどです。別の1,000人に聞けば、41%や44%になるかもしれません。それなのに、1つの数字だけが切り取られて伝わります。

魚とりに例えてみましょう。1本の銛で魚を突くなら、狙いを1点に定めます。でも、ぴったり当たることはめったにありません。一方、網を投げれば、魚がその中にいる可能性はぐっと高くなります。

実は、統計の推定にもこの2つのやり方があります。ぴったり1つの値で言い当てる銛の方法と、幅を持たせて言い当てる網の方法です。

そこで登場するのが、今回の主役 点推定 と 区間推定 です。3級では母平均の区間推定の手順を学びました。今回は、なぜその手順でよいのかを、一段深く見ていきます。

前回の記事では、t分布などの分布と分布表の使い方を学びました。今回の記事では、推定量のよさを測る基準と、信頼区間の正しい意味について解説します。

点推定：推定量と推定値

推定量はレシピ、推定値はできあがった一皿

はじめに、点推定の基本について解説します。

点推定 は、母数を1つの値で推定する方法です。例えば、母平均を標本平均で言い当てるのが点推定です。

ここで、よく似た2つの言葉を区別します。これが 推定量と推定値 です。

【推定量と推定値】

• 推定量: データから値を計算するルール。確率変数である（例: $\bar{X}$）
• 推定値: 実際のデータを入れて出た数字。ただの値である（例: 13）

料理に例えると、推定量はレシピで、推定値はできあがった一皿です。レシピは同じでも、材料（標本）が違えば、毎回違う味の一皿ができます。推定量のよさを議論するとは、「このレシピは、平均していい料理を作るか」を議論することです。

代表的な推定量は次のとおりです。

知りたい母数	推定量	式
母平均 $\mu$	標本平均	$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$
母分散 $\sigma^2$	不偏分散	$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2$
母比率 $p$	標本比率	$\hat{p} = X / n$

母数の推定量には、$\hat{\mu}$ や $\hat{p}$ のように、ハット（帽子）をつけて書くことがあります。

具体的に見てみましょう。5個の商品の重さが、12, 15, 11, 14, 13（g）だったとします。

【推定値の計算】

1. 母平均の推定値： $(12 + 15 + 11 + 14 + 13) \div 5 = 13$
2. 偏差の2乗の和： $1 + 4 + 4 + 1 + 0 = 10$
3. 母分散の推定値： $10 \div (5 - 1) = 2.5$

推定値は、母平均が13g、母分散が2.5です。

以上が、点推定についての解説です。

よい推定量の条件：不偏性と一致性

不偏性は平均すると当たり、一致性は増やすと当たる

次に、推定量のよさを測る基準について説明します。

レシピが何通りもあるとき、どれを選べばよいのでしょうか？ 基準は主に2つです。1つずつ見ていきましょう。

1. 不偏性

不偏性 は、推定量の期待値が母数に一致するという性質です。

$$E[\hat{\theta}] = \theta$$

$\theta$（シータ）は母数の総称です。言葉で言うと、「平均すると真の値に当たる」ということです。ダーツでいえば、1本1本は外れても、矢の中心が的の真ん中にある状態です。前々回に学んだとおり $E[\bar{X}] = \mu$ なので、標本平均は不偏性を持ちます。

では、分散はどうでしょうか？ ここで、3級から持ち越した疑問が解決します。なぜ分散の推定には $n$ ではなく $n-1$ で割るのでしょうか？

標本の偏差は、母平均 $\mu$ ではなく、標本平均 $\bar{X}$ から測ります。標本平均はその標本の真ん中なので、偏差の2乗の和は、$\mu$ から測るより必ず小さめになります。自分たちの平均で測ると、実力より「まとまって」見えてしまうのです。$n$ で割った分散の期待値は、次のように母分散より小さくなります。

$$E\left[\frac{1}{n}\sum (X_i - \bar{X})^2\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$$

$n-1$ で割れば、この小ささがちょうど埋まります。だから、$S^2$ を 不偏分散 と呼ぶのです。

極端に小さい例で確かめてみましょう。母集団が0と2の2つの値で、どちらも確率1/2だとします。母分散は1です。2個のデータを取り出す4通りの結果は次のとおりです。

標本	$n$ で割った分散	$n-1$ で割った分散
0, 0	0	0
0, 2	1	2
2, 0	1	2
2, 2	0	0
平均	0.5	1

$n$ で割ると平均は0.5で、母分散の1の半分です。$n-1$ で割ると、ぴったり1になります。

2. 一致性

一致性 は、標本の大きさ $n$ を大きくすると、推定量が母数に近づくという性質です。

データを増やすほど真の値に近づくなら安心ですよね。前々回の大数の法則により、標本平均は一致性を持ちます。写真の解像度を上げるほど、本物がくっきり見えるイメージです。

不偏性と一致性は、別の性質です。せっかくなので、例で比べてみましょう。

推定量	不偏性	一致性	理由
標本平均 $\bar{X}$	ある	ある	期待値が $\mu$ で、$n$ とともに近づく
最初の1個 $X_1$	ある	ない	期待値は $\mu$ だが、$n$ を増やしても変わらない
$n$ で割った分散	ない	ある	小さめに出るが、$n$ が大きいと差は消える

「最初の1個だけ見る」というレシピは、平均すれば当たるので不偏です。でも、どれだけデータを集めても精度が上がりません。一方、$n$ で割った分散は、少し小さめに偏るものの、$n$ が大きければ母分散に近づきます。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 不偏な推定量が2つあるなら、分散が小さいほうがよいと考えます。この基準を有効性と呼びます。例えば、$X_1$ の分散は $\sigma^2$ で、$\bar{X}$ の分散は $\sigma^2/n$ なので、$\bar{X}$ のほうが有効です。

試験のポイント：不偏性は「平均すると当たる」、一致性は「データが増えると当たる」です。分散の不偏な推定量は、$n-1$ で割った不偏分散です。

以上が、不偏性と一致性についての説明です。

有限母集団：母集団に限りがあるとき

全部調べれば修正の係数は0になり、誤差は消える

続いて、母集団の大きさが限られている場合について解説します。

ここまでは、母集団が十分に大きく、取り出しても中身が変わらないと考えてきました。でも、クラス40人から10人を選ぶような場合はどうでしょうか？ このように大きさ $N$ が限られた母集団を 有限母集団 と呼びます。

有限母集団から戻さずに標本をとると、標本平均の期待値は同じ $\mu$ ですが、分散は次のように小さくなります。

$$V[\bar{X}] = \frac{N - n}{N - 1} \cdot \frac{\sigma^2}{n}$$

$\frac{N-n}{N-1}$ を 有限母集団修正 と呼びます。確率分布の記事で見た、超幾何分布の分散についていた係数と同じものです。

小さな鍋の味見を考えてください。鍋の半分を飲んで確かめれば、残りの味はほとんど見当がつきますよね。極端に、全部飲む（$n = N$）と係数は0になり、誤差はなくなります。全数調査に標本誤差がないのは、このためです。

例えば、1,000世帯の町から100世帯を選ぶとします。母標準偏差は20です。修正なしの分散は $400 \div 100 = 4$ です。修正の係数は $900 \div 999 \approx 0.901$ なので、分散は約3.60、標準偏差は約1.90になります。

逆に、$N$ が $n$ よりずっと大きければ、係数はほぼ1です。1億人から1,000人を選ぶとき、修正は必要ありません。だから、全国調査でも1,000人ほどで足りるのです。調査の精度を決めるのは、母集団の大きさではなく、標本の大きさのほうです。

以上が、有限母集団についての解説です。

区間推定：信頼区間と信頼係数

棒は動かず輪が動く。95%は手順の成功率

最後に、網を投げる方法を見ていきましょう。

区間推定 は、母数を幅で推定する方法です。この幅を 信頼区間 と呼びます。信頼区間がどれくらい確かなのかを表す値が 信頼係数 で、95%がよく使われます。

正規母集団で $\sigma$ が既知なら、標本平均を標準化した $Z$ は標準正規分布に従います。

$$P\left(-1.96 \le \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \le 1.96\right) = 0.95$$

かっこの中を $\mu$ について解くと、95%信頼区間が得られます。

$$\bar{X} - 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

言葉で言うと、「標本平均を中心に、標準誤差の1.96倍ずつ左右に広げる」です。99%なら1.96が2.576に変わります。

例題：信頼区間を求める

$\sigma = 10$ の正規母集団から25個の標本をとると、標本平均は64でした。母平均の95%信頼区間と99%信頼区間を求めましょう。

【解き方】

1. 標準誤差を求める： $10 \div \sqrt{25} = 2$
2. 95%の幅： $1.96 \times 2 = 3.92$ なので $64 \pm 3.92$
3. 99%の幅： $2.576 \times 2 = 5.152$ なので $64 \pm 5.152$

答えは、95%信頼区間が60.08から67.92、99%信頼区間が約58.85から約69.15です。信頼係数を上げると、幅は広がります。より確実に捕まえるには、大きな網が必要なのです。

信頼係数の正しい意味

ここが最大のポイントです。95%信頼区間の「95%」は何の確率でしょうか？

動いているのは母平均ではなく、区間のほうです。母平均は、分からないだけで決まった1つの値です。輪投げに例えると、棒（母平均）は地面に固定されていて、輪（信頼区間）が毎回違う場所に飛びます。

【95%信頼区間の意味】

• 正しい: 同じ手順で標本を取り直して区間を作ると、100回中およそ95回は母平均を含む
• 誤り: 計算した60.08〜67.92の中に、母平均がある確率が95%である

一度計算した区間は、母平均を含むか含まないかのどちらかです。95%は、この手順そのものの成功率です。

試験のポイント：「95%」は区間の作り方の信頼度です。「母平均が95%の確率で区間に入る」という選択肢は誤りとして出ます。

区間の幅を決めるもの

幅は $2 \times 1.96\,\sigma / \sqrt{n}$ なので、次のように動きます。

【区間の幅の動き】

1. 信頼係数を上げると、幅は広がる
2. 標本の大きさを大きくすると、幅は狭まる（4倍で半分）
3. 母標準偏差が大きいと、幅は広がる

逆算すれば、必要な標本の大きさも求められます。$\sigma = 10$ で、誤差（片側の幅）を2以内にしたいなら、$1.96 \times 10 / \sqrt{n} \le 2$ を解きます。$n \ge (1.96 \times 10 \div 2)^2 = 96.04$ なので、97個以上が必要です。

以上が、区間推定についての説明です。

細かい導出を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「点推定は1点、区間推定は幅。95%は手順の成功率」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

1点か幅か、よい作り方か、95%の意味は何か

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は点推定と区間推定の考え方について紹介しました。銛のように1点を狙うのが点推定、網のように幅で捕まえるのが区間推定です。世論調査の42%も、本当は幅を持った数字です。「どのくらいのズレがありうるのか」を一緒に示すことが、統計の誠実さなのです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 推定量はレシピ（確率変数）、推定値は一皿（数字）。
• 不偏性は「平均すると当たる」、一致性は「データが増えると当たる」。
• 分散は $n-1$ で割ると不偏になる。$n$ で割ると小さめに出る。
• 有限母集団では、分散に係数 $(N-n)/(N-1)$ がかかる。
• 95%は「手順の成功率」。母平均は動かず、区間のほうが動く。

キーワードのおさらい

• 点推定: 母数を1つの値で推定すること
• 推定量: データから値を計算するルール（確率変数）
• 推定値: 実際のデータから計算した数字
• 不偏性: 推定量の期待値が母数に等しいという性質
• 一致性: 標本が大きくなると推定量が母数に近づくという性質
• 有限母集団: 大きさが限られた母集団
• 信頼区間: 母数を幅で推定した区間
• 信頼係数: 手順の確かさを表す値（95%など）

さて、ここまでの信頼区間は、$\sigma$ が分かっている親切な場面の話でした。現実では $\sigma$ は分かりませんし、知りたいのが平均とも限りません。分散や比率、相関係数を知りたいときは、どうすればよいのでしょうか？

次回は、前回のt分布とカイ二乗分布を使った「1つの母集団の区間推定」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。