統計学 学習ノート

はじめに

9人に聞いただけで、全体の待ち時間に網を投げる

「この店の待ち時間、9人に聞いただけで何が分かるの？」

話題のラーメン店の平均待ち時間を知りたいとしましょう。行列の9人に聞いてみたものの、標本は小さく、全体のばらつきも分かりません。前回の公式には $\sigma$ が入っていましたが、ここには $\sigma$ がないのです。困りますよね。

さらに、知りたいのが平均とは限りません。「待ち時間のばらつきはどのくらいか」「常連客の割合は」「注文の量と滞在時間の関連の強さは」といった疑問もあります。

実は、どの疑問も、前回の「標本の値を中心に網を広げる」という同じ考え方で解けます。変わるのは、網の材料になる分布だけです。

そこで登場するのが、今回の主役 母平均・母分散・母比率・相関係数の区間推定 です。4つのレシピを1つずつ身につけましょう。

前回の記事では、信頼区間の考え方を学びました。今回の記事では、1つの母集団について、対象ごとの信頼区間の作り方を解説します。信頼係数は、特に断らない限り95%とします。

母平均の区間推定：σが分からないならt分布

σが未知なら、物差しのぶれの分だけt分布の網は広い

はじめに、最もよく出る母平均の区間推定について解説します。

正規母集団の母平均・母分散の区間推定 のうち、まずは母平均から始めます。母平均の区間推定は、$\sigma$ が分かっているかどうかで分かれます。

【母平均の95%信頼区間】

• $\sigma$ が既知： $\bar{x} \pm 1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• $\sigma$ が未知： $\bar{x} \pm t_{0.025}(n-1) \dfrac{s}{\sqrt{n}}$

$\sigma$ が既知の場合は、前回の式そのままです。未知のときは、次のように置き換えます。$\sigma$ を不偏分散の平方根 $s$ に、1.96をt分布の上側2.5%点に変えるのです。

$$\bar{x} - t_{0.025}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + t_{0.025}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}$$

記号の意味は、$\bar{x}$ が標本平均、$s$ が不偏分散の平方根、$n$ が標本の大きさ、$t_{0.025}(n-1)$ が自由度 $n-1$ のt分布の上側2.5%点です。言葉で言うと、「標本平均 ± t の点 × 標準誤差」となります。

例題：待ち時間の母平均の信頼区間

ラーメン店で9人の待ち時間を調べると、次のデータが得られました（単位は分）。待ち時間は正規分布に従うとして、母平均の95%信頼区間を求めましょう。ただし、$t_{0.025}(8) = 2.306$ とします。

20, 23, 28, 28, 31, 32, 33, 36, 39

【解き方】

1. 標本平均を求める： $270 \div 9 = 30$
2. 偏差の2乗の和を求める： $100 + 49 + 4 + 4 + 1 + 4 + 9 + 36 + 81 = 288$
3. 不偏分散を求める： $s^2 = 288 \div 8 = 36$ なので $s = 6$
4. 標準誤差を求める： $6 \div \sqrt{9} = 2$
5. 幅を求める： $2.306 \times 2 = 4.612$

答えは、$30 \pm 4.612$ より、約25.39分から約34.61分です。

もし $\sigma = 6$ が分かっていたら、幅は $1.96 \times 2 = 3.92$ で済みました。t分布の網が広いのは、物差しの不確かさの分だけ余裕をとっているからです。

なお、$n$ が大きいときは、t分布はほぼ標準正規分布になります。正規母集団でなくても、$n$ が大きければ、中心極限定理により同じ式が近似として使えます。

試験のポイント：区間の材料は、$\sigma$ が「既知」なら1.96、「未知」なら自由度 $n-1$ のtです。問題文の「母分散は未知」の一言を見逃さないようにしましょう。

以上が、母平均の区間推定についての解説です。

母分散の区間推定：左右非対称な網

大きい点が下限、小さい点が上限で、網は非対称になる

次に、ばらつきそのものを推定する方法について説明します。

味の品質管理のように、「平均が合っているだけでなく、ばらつきが小さいこと」が大切な場面があります。そのときは、母分散の区間推定を使います。

材料は、カイ二乗分布の関係 $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ です。この量が95%の確率で下側と上側の点の間に入る、という式を $\sigma^2$ について解きます。

$$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(n-1)} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(n-1)}$$

$\chi^2_{0.025}$ は上側2.5%の点で大きい値、$\chi^2_{0.975}$ は上側97.5%の点で小さい値です。言葉で言うと、「偏差の2乗の和を、大きい点で割ったものが下限、小さい点で割ったものが上限」です。

ここがポイントです。分母が大きいほど値は小さくなるので、下限には大きい点を使います。順番が逆に見えますが、これは正しい形です。

例題：待ち時間の母分散の信頼区間

さきほどのラーメン店のデータから、母分散の95%信頼区間を求めましょう。ただし、$\chi^2_{0.025}(8) = 17.53$、$\chi^2_{0.975}(8) = 2.18$ とします。

【解き方】

1. 偏差の2乗の和を確認する： $(n-1)s^2 = 8 \times 36 = 288$
2. 下限を求める： $288 \div 17.53 \approx 16.4$
3. 上限を求める： $288 \div 2.18 \approx 132.1$

答えは、約16.4から約132.1です。

この区間は、点推定値の36を中心にしていません。カイ二乗分布が左右非対称なので、網も非対称になるのです。下には約20、上には約96も広がっています。

母標準偏差の信頼区間が欲しいときは、両端の平方根をとります。$\sqrt{16.4} \approx 4.05$、$\sqrt{132.1} \approx 11.5$ なので、約4.05分から約11.5分です。

標本が9個だけだと、ばらつきの推定はこれだけ粗くなります。平均よりも分散のほうが、推定はずっと難しいのです。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 母平均の区間は、$n$ が大きければ正規分布でなくても近似できます。一方、母分散の区間は母集団が正規分布であることに強く頼っています。正規分布から外れたデータでは、注意が必要です。

以上が、母分散の区間推定についての説明です。

母比率の区間推定：正規近似で幅をとる

標本比率を中心に、正規近似で幅をとる

続いて、割合を推定する方法を見ていきましょう。

3級で学んだ母比率の区間推定を、ここで確認します。成功の回数は二項分布に従い、$n$ が大きいと標本比率 $\hat{p}$ は正規分布 $N(p, p(1-p)/n)$ で近似できます。標準誤差の中の $p$ は分からないので、$\hat{p}$ を入れて次の式で計算します。

$$\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

例えば、お店のお客さん400人のうち120人が常連だったとします。

【計算の手順】

1. 標本比率： $\hat{p} = 120 \div 400 = 0.3$
2. 標準誤差： $\sqrt{0.3 \times 0.7 \div 400} \approx 0.0229$
3. 幅： $1.96 \times 0.0229 \approx 0.045$

95%信頼区間は、0.255から0.345です。およそ25.5%から34.5%と言えます。

せっかくなので、世論調査の話もしましょう。誤差（片側の幅）を3ポイント以内にするには、何人に聞けばよいでしょうか？ 調べる前は $\hat{p}$ が分からないので、幅が最も広くなる $p = 0.5$ を使います。

$$n \ge \left(\frac{1.96}{0.03}\right)^2 \times 0.5 \times 0.5 \approx 1067.1$$

したがって、1,068人以上です。新聞の世論調査がおよそ1,000人なのは、こういう計算から来ているのです。

試験のポイント：必要な標本の大きさを問われて $p$ が分からないときは、最悪の場合の $p = 0.5$ で計算します。求めた数は切り上げます。

以上が、母比率の区間推定についての解説です。

相関係数の区間推定：z変換でまっすぐにする

壁のないzの世界で幅をとり、rの世界へ戻す

次に、関連の強さを推定する方法について解説します。

相関係数の標本分布は、母相関係数 $\rho$ が1や−1に近いほど、片寄った形になります。これは、壁の近くでボールが跳ね返るようなものです。相関係数には1を超えられない壁があるので、そのままでは左右対称の網が投げられません。

そこで、壁のない世界へ移してから網を投げます。これが フィッシャーのz変換 です。

$$z = \frac{1}{2}\log_e \frac{1+r}{1-r}$$

$r$ は標本相関係数です。2変量正規分布のデータなら、$z$ は近似的に平均 $\frac{1}{2}\log_e\frac{1+\rho}{1-\rho}$、分散 $\frac{1}{n-3}$ の正規分布に従います。

【相関係数の区間推定の手順】

1. $r$ を $z$ に変換する
2. $z$ の世界で $z \pm 1.96 / \sqrt{n-3}$ を計算する
3. 両端を $r = \dfrac{e^{2z} - 1}{e^{2z} + 1}$ で元に戻す

地図アプリのように、一度別の座標に変換してから距離を測り、最後に元の座標へ戻すイメージです。

例題：相関係数の信頼区間

28組のデータから、標本相関係数 $r = 0.6$ を得ました。母相関係数の95%信頼区間を求めましょう。

【解き方】

1. 変換する： $z = 0.5 \times \log_e(1.6 \div 0.4) = 0.5 \times \log_e 4 \approx 0.693$
2. 幅を求める： $1.96 \div \sqrt{28 - 3} = 1.96 \div 5 = 0.392$
3. $z$ の世界の区間： $0.301$ から $1.085$
4. 元に戻す： $0.301$ は約0.292、$1.085$ は約0.795

答えは、約0.29から約0.80です。

$r = 0.6$ に対して、下に約0.31、上に約0.20と、非対称です。また、区間が0を含まないので、「母相関係数は0ではなさそうだ」と読めます。この手順全体が、相関係数の区間推定 です。

以上が、相関係数の区間推定についての説明です。

4つのレシピの選び方

何を知りたいかで、網の材料になる分布を選ぶ

最後に、ここまでの4つのレシピを整理しましょう。

知りたいもの	使う分布	95%信頼区間の形	区間の形
母平均（$\sigma$ 既知）	標準正規分布	$\bar{x} \pm 1.96\,\sigma/\sqrt{n}$	対称
母平均（$\sigma$ 未知）	t分布（自由度 $n-1$）	$\bar{x} \pm t\,s/\sqrt{n}$	対称
母分散	カイ二乗分布（自由度 $n-1$）	$(n-1)s^2$ を2つの点で割る	非対称
母比率	正規近似	$\hat{p} \pm 1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$	対称
相関係数	z変換で正規近似	変換して幅をとり、元に戻す	非対称

問題を解くときの流れは、どれも同じです。

【区間推定を解く手順】

1. 何を推定するかを確かめる（平均、分散、比率、相関係数）
2. 表の中から分布を選び、自由度を確認する
3. 点推定値と標準誤差を計算する
4. 分布表の値を掛けて幅を出す（または割る）
5. 上限と下限を答える

以上が、4つのレシピの選び方についての解説です。

細かい式が覚えきれなくても問題ありません。ここでは、「平均は $t$、分散は $\chi^2$、比率は正規近似」という対応だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

標本の値を中心に、分布表の値で網を広げる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は1つの母集団について、対象ごとの区間推定を紹介しました。4つのレシピは、見た目こそ違いますが、「標本の値を中心に、分布表の値を使って網を広げる」という骨組みは同じです。何を推定するかによって、網の材料になる分布が変わるだけなのです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 母平均は、$\sigma$ が未知なら自由度 $n-1$ のt分布を使う。
• 母分散は、カイ二乗分布の大きい点で割ると下限、小さい点で割ると上限。区間は非対称。
• 母比率は、正規近似で幅をとる。必要な $n$ は、分からなければ $p = 0.5$ で見積もる。
• 相関係数は、z変換で正規分布の世界へ移してから区間を作り、元に戻す。

キーワードのおさらい

• 正規母集団の母平均の区間推定: $\sigma$ が既知なら標準正規分布、未知ならt分布で求める区間
• 母分散の区間推定: カイ二乗分布の2つの点で割って求める区間
• 母比率の区間推定: 標本比率の正規近似で求める区間
• 相関係数の区間推定: フィッシャーのz変換を使って求める区間
• フィッシャーのz変換: 相関係数を正規分布で扱える値に変える変換

さて、今回は1つの母集団だけを見てきました。でも、実際に知りたいのは「A店とB店はどちらが速いのか」「新しい教え方は前より効果があるのか」のように、2つを比べる話が多いですよね。

次回は、2つの差や比を推定する「2つの母集団の区間推定」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。