統計学 学習ノート

はじめに

90%の検査で陽性でも、病気である確率は15%ほどのことがある

「検査で陽性と出た。精度90%の検査らしいから、病気の確率は90%ってこと？」

こんな場面を想像すると、不安になりますよね。ところが、実際に計算してみると、病気である確率は15%ほどになることがあります。90%と15%では、受け止め方がまったく違います。

前回の記事までで、データの集め方を学びました。くじで選び、くじで分けることで、結果を確率で語れるようになるのでした。ここからは、その確率のルールを整理します。4級で確率の基礎を、3級で独立と条件付き確率を学びましたね。2級では、これらを公式として使いこなします。

実は、冒頭の勘違いは「AのときのBの確率」と「BのときのAの確率」を取り違えたことから起こります。この2つは、まったく別の数字です。

そこで登場するのが、今回の主役 ベイズの定理 です。結果から原因の確率を逆算する、確率の中でも特に強力な道具です。今回の記事では、事象の言葉をそろえたうえで、加法定理、条件付き確率、乗法定理、そしてベイズの定理について解説します。

事象と確率：言葉をそろえる

標本空間が全体で、事象はその一部。重なりが積事象

はじめに、確率を語るための言葉について解説します。

確率の話は、次の3つの言葉から始まります。

【確率の基本用語】

• 試行： サイコロを振るように、結果が偶然に決まる行為
• 標本空間： 起こり得る結果すべての集まり。$\Omega$ と書く
• 事象： 標本空間の一部で、「偶数の目が出る」のような結果の集まり

サイコロなら、標本空間は $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ です。全校生徒の名簿が標本空間で、「サッカー部の人」のような名簿の一部が事象だと考えてください。

事象どうしの関係にも名前があります。具体的に見てみましょう。$A$ を「偶数の目」$\{2, 4, 6\}$、$B$ を「3の倍数の目」$\{3, 6\}$ とします。

【事象の関係】

• 和事象 $A \cup B$： $A$ または $B$ が起こる。例では $\{2, 3, 4, 6\}$
• 積事象 $A \cap B$： $A$ と $B$ がともに起こる。例では $\{6\}$
• 余事象 $A^c$： $A$ が起こらない。例では $\{1, 3, 5\}$
• 排反： $A$ と $B$ が同時には起こらない。例えば「偶数の目」と「奇数の目」

確率 は、事象の起こりやすさを0から1の数で表したものです。どんな確率も、次の3つのルールを満たします。

【確率の3つのルール】

1. どの事象 $A$ でも $0 \le P(A) \le 1$
2. 全体の確率は1： $P(\Omega) = 1$
3. $A$ と $B$ が排反なら $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

どの結果も同様に確からしいときは、次の式で計算できます。

$$P(A) = \frac{A \text{に含まれる結果の数}}{\text{全体の結果の数}}$$

例の場合は、$P(A) = 3/6 = 1/2$、$P(B) = 2/6 = 1/3$ です。

ルールから、すぐに便利な式が出ます。起こる確率と起こらない確率を足すと1なので、次のように計算できます。

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

例えば、サイコロを3回振って、少なくとも1回6が出る確率を考えます。「1回、2回、3回の場合」に分けると大変ですが、余事象は「3回とも6以外」です。したがって、$1 - (5/6)^3 = 91/216 \approx 0.42$ と一度で求まります。「少なくとも」と書かれていたら、余事象の出番です。

以上が、事象と確率についての解説です。

加法定理：重なりを引く

足すと両方好きな人を2回数えるので、重なりの1回ぶんを引く

次に、和事象の確率を求める加法定理について説明します。

加法定理 は、「$A$ または $B$」の確率を求める公式です。

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

言葉で言うと、2つの確率を足して、重なりを引きます。なぜ引くのでしょうか？ 2つのクラブの名簿を合わせて人数を数えると、両方に入っている人が2回数えられてしまいますよね。その1回ぶんを引くのです。

数値を入れてみましょう。サイコロの例では、$P(A \cup B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3$ です。実際に $\{2, 3, 4, 6\}$ の4つなので、$4/6 = 2/3$ と一致します。

$A$ と $B$ が排反のときは重なりがないので、$P(A \cap B) = 0$ となり、そのまま足すだけになります。

例題：加法定理と余事象

40人のクラスで、数学が好きな人は24人、英語が好きな人は18人、両方好きな人は10人でした。1人を無作為に選ぶとき、次の確率を求めましょう。

1. 数学か英語の少なくとも一方が好きである
2. どちらも好きではない

【解き方】

1. 確率に直す： $P(A) = 24/40$、$P(B) = 18/40$、$P(A \cap B) = 10/40$
2. 加法定理： $P(A \cup B) = (24 + 18 - 10) \div 40 = 32/40 = 0.8$
3. 余事象： $1 - 0.8 = 0.2$

答えは、1が0.8、2が0.2です。

以上が、加法定理についての説明です。

条件付き確率と乗法定理：舞台を絞る

分子は同じ16でも、絞る舞台が違えば確率はまったく違う

続いて、条件付き確率と乗法定理について解説します。

条件付き確率 は、「$B$ が起こったと分かったときの、$A$ の確率」です。$P(A \mid B)$ と書きます。

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

言葉で言うと、舞台を全校生徒から $B$ の教室の中だけに絞り、そこで $A$ の割合を見るのです。だから、分母が $P(B)$ になります。

具体的に見てみましょう。ある学校の生徒200人の通学手段と、今月の遅刻の有無を集計しました。

	遅刻あり	遅刻なし	合計
電車	12	108	120
バス	16	64	80
合計	28	172	200

バス通学の人に絞ると、遅刻の確率は $16/80 = 0.2$ です。一方で、遅刻した人に絞ると、バス通学の確率は $16/28 \approx 0.57$ です。

分子は同じ16なのに、値はまったく違います。つまり、$P(\text{遅刻} \mid \text{バス})$ と $P(\text{バス} \mid \text{遅刻})$ は別物です。ここがポイントです。冒頭の勘違いも、この取り違えでした。

条件付き確率の式の分母を払うと、乗法定理 が得られます。

$$P(A \cap B) = P(B) \, P(A \mid B) = P(A) \, P(B \mid A)$$

言葉で言うと、「まず $A$ が起こり、そのうえで $B$ が起こる確率」を掛け算で求める公式です。順番に関門を通っていくイメージです。

例えば、10本のうち3本が当たりのくじを、引いたくじを戻さずに2人が順に引きます。

【くじの確率の計算】

• 2人とも当たる： $\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}$
• 2人目が当たる： $\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} + \dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{27}{90} = \dfrac{3}{10}$

2人目が当たる確率は、1人目の結果で場合分けして足すと $3/10$ になり、1人目と同じです。くじは、引く順番によらず公平なのです。

条件が確率を変えない場合もあります。$P(A \mid B) = P(A)$ のとき、$A$ と $B$ は 独立 であると言います。このとき、乗法定理は次の形になります。

$$P(A \cap B) = P(A) \, P(B)$$

サイコロの例では、$P(A \cap B) = 1/6$ で、$P(A) P(B) = 1/2 \times 1/3 = 1/6$ なので、$A$ と $B$ は独立です。偶数かどうかを知っても、3の倍数かどうかの見込みは変わりません。

試験のポイント：排反と独立は別物です。排反は「同時に起こらない」、独立は「互いの確率に影響しない」です。どちらの確率も正のとき、排反な2つの事象は独立ではありません。一方が起これば、もう一方の確率は0になるからです。

以上が、条件付き確率と乗法定理についての解説です。

ベイズの定理：結果から原因を逆算する

陽性585人のうち、本当に病気なのは90人だけ

最後に、ベイズの定理を見ていきましょう。

探偵を思い浮かべてください。現場に足跡という結果が残っていて、犯人という原因を推理します。原因が分かっているときに結果の確率を考えるのは簡単ですが、探偵がほしいのは逆の確率です。この逆算を行うのが、ベイズの定理（Bayes' theorem） です。

まず、原因 $A_1, A_2, \ldots, A_k$ が互いに排反で、どれか1つは必ず起こるとします。このとき、結果 $B$ の確率は、原因ごとに分けて足せます。さきほどのくじの2人目の計算と同じ形です。

$$P(B) = \sum_{j=1}^{k} P(A_j) \, P(B \mid A_j)$$

これを 全確率の公式 と言います。乗法定理と合わせると、ベイズの定理が得られます。

$$P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i) \, P(B \mid A_i)}{\sum_{j=1}^{k} P(A_j) \, P(B \mid A_j)}$$

記号の意味は次のとおりです。

【ベイズの定理の記号】

• $P(A_i)$： 事前確率。結果を見る前の、原因 $A_i$ の確率
• $P(B \mid A_i)$： 原因 $A_i$ のもとで、結果 $B$ が起こる確率
• $P(A_i \mid B)$： 事後確率。結果 $B$ を見た後の、原因 $A_i$ の確率

言葉で言うと、「その原因の道を通って結果にたどり着く確率」を、「すべての道の合計」で割ります。

例題：検査で陽性のときの確率

ある病気にかかっている人の割合は1%です。検査は、病気の人を90%の確率で陽性と判定し、病気でない人を5%の確率で誤って陽性と判定します。検査が陽性のとき、本当に病気である確率を求めましょう。

【解き方】

1. 事前確率： 病気 0.01、病気でない 0.99
2. 病気で陽性になる道： 0.01 × 0.90 = 0.009
3. 病気でないのに陽性になる道： 0.99 × 0.05 = 0.0495
4. 陽性の確率（全確率の公式）： 0.009 + 0.0495 = 0.0585
5. 事後確率： 0.009 ÷ 0.0585 ≈ 0.154

答えは約15.4%です。

意外に低いですよね。人数に直すと、理由が見えてきます。10,000人が検査を受けたとしましょう。

	陽性	陰性	合計
病気	90	10	100
病気でない	495	9,405	9,900
合計	585	9,415	10,000

陽性の585人のうち、本当に病気なのは90人だけです。病気でない人が圧倒的に多いので、わずか5%の誤判定でも495人になってしまうのです。

もう一度検査をしたらどうでしょうか？ ここがベイズの定理の面白いところです。1回目の事後確率0.154を、2回目の事前確率にします。2回目も陽性なら、$0.154 \times 0.90 \div (0.154 \times 0.90 + 0.846 \times 0.05) \approx 0.77$ に上がります。情報が増えるたびに、確率を更新していけるのです。

例題：不良品の原因を探す

ある工場には製造ラインが3つあります。全製品に占める割合と不良率は、次のとおりです。

ライン	A	B	C
製品の割合	50%	30%	20%
不良率	1%	2%	4%

不良品が1つ見つかりました。ラインCで作られた確率を求めましょう。

【解き方】

1. 各ラインの道： Aは 0.5 × 0.01 = 0.005、Bは 0.3 × 0.02 = 0.006、Cは 0.2 × 0.04 = 0.008
2. 不良の確率： 0.005 + 0.006 + 0.008 = 0.019
3. 事後確率： 0.008 ÷ 0.019 ≈ 0.421

答えは約42.1%です。製品の割合が最も少ないCが、不良品の原因としては最も疑わしいと分かります。

試験のポイント：ベイズの定理の問題は、「各原因の道の確率」を掛け算で出し、合計で割る手順で解けます。迷ったら、10,000人などの人数に直して表を作りましょう。

以上が、ベイズの定理についての説明です。

細かい公式を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「または は足して重なりを引く、かつ は順に掛ける、逆向きの確率は道の割合で求める」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

または は重なりを引き、かつ は順に掛け、逆向きは道の割合

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、確率の基本法則と、結果から原因を逆算するベイズの定理について紹介しました。「90%の検査で陽性」は「病気の確率が90%」を意味しません。元の割合をふまえて、逆向きの確率を計算することが大切です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 標本空間が名簿、事象が名簿の一部。「少なくとも」は余事象で求める。
• 加法定理は、足して重なりを引く。排反なら足すだけ。
• 条件付き確率は舞台を絞る。$P(A \mid B)$ と $P(B \mid A)$ は別物。
• 乗法定理は、関門を順に通る掛け算。独立なら確率をそのまま掛ける。
• ベイズの定理は探偵の推理。原因の道の確率を、すべての道の合計で割る。

キーワードのおさらい

• 事象: 標本空間の一部で、結果の集まり
• 排反: 2つの事象が同時には起こらないこと
• 加法定理: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• 条件付き確率: $B$ が起こったと分かったときの $A$ の確率
• 乗法定理: $P(A \cap B) = P(A) P(B \mid A)$
• 独立: 一方が起こっても、他方の確率が変わらないこと
• ベイズの定理: 事前確率と結果の確率から、事後確率を求める定理

さて、今回は「当たる」「陽性になる」のように、結果を言葉で扱いました。でも、賞金の金額やサイコロの目のように、結果が数で表されるなら、「平均していくらになるか」も計算できそうですよね。

次回は、結果を数として扱う「確率変数」と、その期待値・分散について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。