統計学 学習ノート

はじめに

よくかき混ぜてあれば、味見の量は鍋の大きさによらない

「世論調査って、たった1,000人くらいに聞いただけで、日本全体のことが分かるの？」

ニュースの内閣支持率を見て、こう感じたことはありませんか？ 1億人以上いる国で、1,000人は10万人に1人にも足りません。こんなに少なくて大丈夫なのかと、不安になりますよね。

前回の記事では、無作為抽出が標本調査の土台であることを学びました。味見をするなら、鍋をよくかき混ぜてからすくう、という話でしたね。

実は、よくかき混ぜてあれば、味見に必要な量は鍋の大きさによりません。小鍋でも大鍋でも、スプーン1杯で味は分かります。だから、世論調査は1,000人ほどで成り立つのです。一方で、かき混ぜ方が悪いと、どんなに大きなスプーンを使っても正しい味は分かりません。

そこで登場するのが、今回の主役 標本誤差 と 偏り です。今回の記事では、この2種類のズレと標本サイズの関係、そして現実の調査で使われる系統抽出法、層化抽出法、クラスター抽出法、多段抽出法について解説します。

標本誤差と標本サイズ：何人に聞けば足りるのか

誤差の幅を半分にするには、4倍の人数が必要

はじめに、偶然によるズレと人数の関係について解説します。

標本誤差（sampling error） とは、標本から求めた値と母集団の本当の値とのズレのうち、「たまたま誰が選ばれたか」で生じる部分です。無作為に選んでも、選ばれる顔ぶれは調査のたびに変わります。その結果、値も少しずつ変わるのです。

標本誤差の大きさを左右するのが、標本サイズ（標本の大きさ） です。標本に含まれる個体の数のことで、$n$ で表します。1,000人に聞いたら、標本サイズは1,000です。「標本が1,000個ある」のではない点に注意しましょう。

3級で学んだとおり、標本比率のぶれは次の標準誤差で表せます。

$$\text{標準誤差} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

$p$ は母集団の比率、$n$ は標本サイズです。そして、標本比率はおよそ95%の確率で、本当の比率から標準誤差の1.96倍以内に収まります。この範囲を、ここでは「95%の誤差の幅」と呼びます。

$$\text{95\%の誤差の幅} = 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

具体的に見てみましょう。賛成の比率が $p = 0.5$ の問題を $n = 400$ 人に聞くとします。

【誤差の幅の計算】

1. 標準誤差： $\sqrt{0.5 \times 0.5 \div 400} = 0.025$
2. 95%の誤差の幅： 1.96 × 0.025 = 0.049

つまり、±4.9ポイントのズレを見込む必要があります。標本サイズを4倍の1,600人にすると、誤差の幅は ±2.45ポイントで、ちょうど半分になります。

ここがポイントです。$n$ はルートの中にあるので、誤差を半分にするには、4倍の人数が必要です。写真の画質を上げるようなもので、最初は人数を増やすと見違えるほど精度が上がりますが、だんだん効き目が小さくなります。

そして、この式には母集団の大きさが入っていません。だから、1万人の町でも1億人の国でも、必要な人数はほとんど変わらないのです。

例題：必要な標本サイズを求める

ある政策の賛成率を、95%の誤差の幅が ±3ポイント以内になるように調べたいとします。賛成率の見当はつきません。最低でも何人に聞けばよいでしょうか？

【解き方】

1. 見当がつかないので、誤差が最大になる $p = 0.5$ を使う
2. 式を立てる： $1.96 \sqrt{0.25 / n} \le 0.03$
3. $n$ について解く： $n \ge 1.96^2 \times 0.25 \div 0.03^2 \approx 1067.1$
4. 人数は切り上げる

答えは1,068人です。世論調査の人数が1,000人前後なのは、この計算からです。

試験のポイント：標本誤差は $1/\sqrt{n}$ に比例します。誤差を $1/2$ にするには標本サイズを4倍、$1/3$ にするには9倍にします。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 母集団の大きさ $N$ が標本サイズに比べて小さいときは、標準誤差に $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ を掛けます。これを有限母集団修正と言います。$N = 10000$、$n = 1000$ でも約0.95倍で、影響は小さいです。

以上が、標本誤差と標本サイズについての解説です。

偏りの源：人数を増やしても消えないズレ

人数を増やすと山は細くなるが、偏りの18ポイントは消えない

次に、もう1つのズレである偏りについて説明します。

偏り（バイアス、bias） とは、結果が同じ方向にずれ続ける誤差です。体重計を思い浮かべてください。2kg重く出る体重計では、何回量って平均しても、2kg重いままです。標本誤差は測るたびに上下にぶれるズレで、偏りはずっと片側に寄るズレです。

この違いは、人数を増やしたときに現れます。標本誤差は人数を増やすと小さくなりますが、偏りは小さくなりません。

実際に、こんな事例があります。昔のアメリカ大統領選で、ある雑誌が200万人以上の回答を集めて予想を出しましたが、大きく外れました。名簿が比較的豊かな層に偏っていたうえに、返事をくれた人にも偏りがあったのです。ずっと少ない人数の調査のほうが、結果をよく当てました。

偏りが生まれる場所、すなわち 偏りの源 には、次のようなものがあります。

【主な偏りの源】

1. 抽出の枠の偏り： 名簿に載らない人がいる。例えば、固定電話の番号から選ぶと、固定電話のない若い世代が抜け落ちる
2. 自発的な応募： 関心の強い人だけが答える。例えば、ネット投票やアンケートはがき
3. 無回答： 選ばれた人が答えてくれない。例えば、忙しい人ほど回答しない
4. 測定や回答の偏り： 聞き方で答えが動く。例えば、「多くの人が賛成している〜に賛成ですか」という誘導的な質問や、言いにくい質問へのうその回答

例題：無回答の偏りを計算する

ある店が、1,000人の会員に満足度を尋ねました。回答率は40%で、回答者のうち「満足」は80%でした。回答しなかった人に後から聞き直すと、「満足」は50%でした。全会員の本当の満足率と、回答者だけで集計したときの偏りを求めましょう。

【解き方】

1. 回答者の割合は0.4、無回答者の割合は0.6
2. 全体の満足率： 0.4 × 0.8 + 0.6 × 0.5 = 0.62
3. 偏り： 0.80 − 0.62 = 0.18

答えは、本当の満足率が62%で、18ポイント高めに偏っていました。回答者を2倍に増やしても、同じ人たちが答えるなら、この18ポイントは消えません。

試験のポイント：標本サイズを大きくすると標本誤差は減りますが、偏りは減りません。偏りは、調査の設計で防ぐものです。

以上が、偏りの源についての説明です。

4つの標本抽出法：現実の調査の工夫

間隔で選ぶ、層ごとに選ぶ、まとまりを選ぶ、段階的に絞る

続いて、単純無作為抽出を現実に合わせた4つの方法について解説します。

単純無作為抽出は理想の方法ですが、弱点があります。全国から1,000人を選ぶと、調査員が全国の家を1軒ずつ回ることになり、費用が膨らみます。全員の名簿が用意できないこともあります。そこで、確率で選ぶという原則を守りながら、手間を減らす工夫が生まれました。1つずつ見ていきましょう。

1. 系統抽出法

系統抽出法（systematic sampling） は、名簿の最初の1人だけを乱数で決めて、その後は一定の間隔で選ぶ方法です。「20人おきに声をかける」というイメージです。

例えば、2,000人の名簿から100人を選ぶとします。間隔は 2000 ÷ 100 = 20 です。1から20の乱数で7が出たら、7番、27番、47番と進み、最後は1987番です。

手軽ですが、落とし穴もあります。名簿の並びに周期があると、偏るのです。例えば、毎日の売上を7日おきに抜き出すと、全部同じ曜日になってしまいます。

2. 層化抽出法

層化抽出法（stratified sampling） は、母集団を性質の似たグループ（層）に分けて、それぞれの層から無作為に選ぶ方法です。幕の内弁当の味見に例えると、ごはん、魚、卵焼きを、それぞれ少しずつ食べるイメージです。全部を混ぜてすくうより、確実に全体が分かります。

各層の人数の割合に合わせて標本を分けることを 比例配分 と言います。層の中が似ていて、層どうしが違うほど、精度は上がります。

例題：比例配分で全体の平均を推定する

ある高校の生徒は、1年生500人、2年生300人、3年生200人です。比例配分で50人を選びます。各学年の人数を求めましょう。また、通学時間の標本平均が1年生20分、2年生30分、3年生50分のとき、全校の平均を推定しましょう。

【解き方】

1. 学年の割合は 0.5, 0.3, 0.2
2. 人数： 50 × 0.5 = 25、50 × 0.3 = 15、50 × 0.2 = 10
3. 全校の平均は、割合を重みとする平均： 0.5 × 20 + 0.3 × 30 + 0.2 × 50 = 29

答えは、1年生25人、2年生15人、3年生10人で、全校の平均は29分です。

3. クラスター抽出法

クラスター抽出法（cluster sampling） は、母集団を学校や町内のようなまとまり（クラスター）に分けて、まとまりを無作為に選び、選ばれた中を全員調べる方法です。集落抽出法とも言います。みかんの品質を、箱単位で選んで箱の中を全部調べるイメージです。

例えば、全国の中学生を調べるときに、200校から10校をくじで選び、その10校の生徒全員を調べます。生徒全員の名簿はいらず、調査員は10校に行くだけです。

ただし、同じ学校の生徒は、地域や学習環境が似ています。そのため、同じ人数の単純無作為抽出より、標本誤差は大きくなりがちです。

4. 多段抽出法

多段抽出法（multistage sampling） は、抽出を何段階かに分けて行う方法です。トーナメントの予選のように、大きな単位から順に絞ります。

例えば、全国の調査では、1段目で市区町村を選び、2段目でその中の地点を選び、3段目で世帯を選びます。学校の例なら、1段目で200校から20校、2段目で各校から20人を選ぶと、400人の標本になります。クラスター抽出法と違い、選ばれたまとまりの全員は調べません。大規模な公的統計の調査では、層化と組み合わせた層化多段抽出が広く使われています。

以上が、4つの標本抽出法についての解説です。

抽出法の使い分け：層とクラスターの違いを押さえる

層化は全部の層から選び、クラスターは一部の箱を全員調べる

最後に、4つの方法の使い分けを見ていきましょう。

ここまでの内容をまとめると、次のようになります。

方法	選び方	長所	注意点
系統抽出法	一定の間隔で選ぶ	手順が簡単	並びの周期で偏る
層化抽出法	層ごとに無作為に選ぶ	精度が上がる	層の情報が必要
クラスター抽出法	まとまりを選び全員調べる	名簿・費用が少なくてすむ	精度が下がりやすい
多段抽出法	段階的に絞る	大規模調査に向く	段が増えると精度が下がりやすい

試験で最も問われるのが、層化抽出法とクラスター抽出法の違いです。どちらも母集団をグループに分けますが、グループの役割は正反対です。

【層とクラスターの違い】

• 層化抽出法： すべての層から選ぶ。層の中は似ていて、層どうしは違うのが理想
• クラスター抽出法： 一部のまとまりだけを選ぶ。まとまりの中はいろいろで、まとまりどうしは似ているのが理想

層化は「全部の代表を少しずつ集める」、クラスターは「母集団の縮図になる箱を選ぶ」と覚えましょう。

例題：抽出法を見分ける

次の調査で使われている方法を答えましょう。

1. 工場の製品から、製造番号の末尾が3のものだけを検査した
2. 市内の児童を地区ごとに分け、すべての地区から同じ割合で無作為に選んだ
3. 市内の町内会を5つくじで選び、その全世帯を調べた

【考え方】

1. 10個おきに選んでいるので、系統抽出法
2. すべての地区から選んでいるので、層化抽出法
3. 一部のまとまりの全員を調べているので、クラスター抽出法

試験のポイント：「全部のグループから選ぶ」なら層化、「一部のグループを選び全員調べる」ならクラスターです。

以上が、抽出法の使い分けについての説明です。

細かい公式を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「人数で減るズレと減らないズレがある」「グループの使い方で方法が決まる」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

人数で減るズレと減らないズレがあり、選び方が大切

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、標本調査で生まれる2種類のズレと、現実に使われる抽出法について紹介しました。「1,000人で足りるのか」という問いの答えは、「よくかき混ぜてあれば足りる」です。人数を数える前に、選び方を見ることが大切です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 標本誤差は偶然のズレで、$1/\sqrt{n}$ に比例する。誤差を半分にするには4倍の人数が必要。
• 必要な人数は、母集団の大きさにほとんどよらない。スプーン1杯で鍋の味は分かる。
• 偏りは重く出る体重計。人数を増やしても消えないので、調査の設計で防ぐ。
• 層化抽出法は全部の層から選び、クラスター抽出法は一部のまとまりを全員調べる。

キーワードのおさらい

• 標本サイズ（標本の大きさ）: 標本に含まれる個体の数
• 標本誤差: 誰が選ばれたかという偶然で生じるズレ
• 偏りの源: 抽出の枠、自発的な応募、無回答、測定など、ズレが片側に寄る原因
• 系統抽出法: 最初だけ乱数で決め、一定の間隔で選ぶ方法
• 層化抽出法: 層に分け、各層から無作為に選ぶ方法
• クラスター抽出法: まとまりを無作為に選び、その全員を調べる方法
• 多段抽出法: 大きな単位から段階的に絞って選ぶ方法

さて、ここまではデータの「集め方」のうち、調査の話でした。もう一方の実験研究では、効果を正しく測るためにどんな工夫をすればよいのでしょうか？ くじで分けるだけで十分でしょうか？

次回は、実験の組み立て方の基本である「フィッシャーの3原則」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。