統計学 学習ノート

はじめに

全員が他の人の品を受け取る確率は、人数によらず約37%

「プレゼント交換で、全員が他の人のプレゼントを受け取れる確率って、どのくらいなの？」

忘年会のプレゼント交換で、自分が持ってきた品が自分に戻ってきて、気まずい思いをしたことはありませんか？ 4人ならまだしも、40人なら誰か1人は自分の品を引きそうな気もしますし、逆に人数が多いぶん、自分の品に当たりにくい気もします。

実は、全員が他の人のプレゼントを受け取れる確率は、4人でも40人でもほとんど同じで、約37%です。人数を増やしても、確率はほとんど動きません。

この答えを出すには、「少なくとも1人が自分の品を引く」という確率を計算する必要があります。ところが、2級で学んだ加法定理は事象が2つのときの式でした。事象が3つ、4つ、40個と増えたら、どうすればよいのでしょうか？

そこで登場するのが、今回の主役の1人 包除原理 です。もう1人の主役は、結果から原因をさかのぼる ベイズの定理 です。

前回の記事で、2級の範囲はひと通り終わりました。ここからは準1級です。今回の記事では、確率の計算の土台を固め直し、包除原理、条件付き確率、統計的独立、ベイズの定理について解説します。

確率の計算の土台：3つの約束と余事象

全員異なるを全体から引くと、23人で半分を超える

はじめに、確率の計算の土台について解説します。

2級では、起こりうる結果の全体を 標本空間 $\Omega$ と呼び、その一部分を 事象 と呼びました。準1級では、確率を次の3つの約束から出発するものとして扱います。これを確率の公理と呼びます。

【確率の3つの約束】

1. どの事象 $A$ についても $P(A) \ge 0$
2. 全体の確率は $P(\Omega) = 1$
3. 互いに排反な事象 $A_1, A_2, \dots$ について $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots$

大きなケーキを思い浮かべてください。ケーキ全体の大きさを1とすると、切り分けたピースの大きさはマイナスになりません。そして、重ならないピースを集めた大きさは、それぞれの大きさの合計です。確率は、このケーキの大きさのように振る舞うものです。

この約束から、計算でよく使う性質が出てきます。

$$P(A^c) = 1 - P(A), \qquad A \subset B \ \Rightarrow\ P(A) \le P(B)$$

$A^c$ は $A$ の 余事象、つまり「$A$ が起こらない」という事象です。「少なくとも1つ」の確率は、直接数えるより余事象から求めるほうが楽なことがよくあります。

具体的に見てみましょう。有名な誕生日の問題です。23人のクラスに、誕生日が同じ2人がいる確率を求めます。1年を365日とし、どの日も同じ確率とします。

「全員の誕生日が異なる」という余事象を考えます。1人目は何日でもよく、2人目は残り364日、3人目は残り363日と続きます。

$$P(\text{全員異なる}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{343}{365} \approx 0.493$$

したがって、誕生日が同じ2人がいる確率は $1 - 0.493 = 0.507$ で、23人で半分を超えます。40人なら約0.891です。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。当たり3本を含む10本のくじから2本を同時に引くとき、少なくとも1本当たる確率です。全部で ${}_{10}\mathrm{C}_2 = 45$ 通りあり、2本ともはずれは ${}_{7}\mathrm{C}_2 = 21$ 通りです。したがって、確率は $1 - 21/45 = 8/15 \approx 0.533$ です。

このように、すべての結果が同じ確率なら、確率の計算は「場合の数の比」に帰着します。これを支えるのが順列と組合せです。

以上が、確率の計算の土台についての解説です。

包除原理：重なりを足し引きする

足す、引く、足すで重なりを直すと、100までの74個が数えられる

次に、3つ以上の事象を扱う包除原理について説明します。

包除原理 は、和事象の確率を、重なりの確率の足し引きで求める公式です。2級の加法定理は、この公式の事象が2つの場合にあたります。3つの場合は次のとおりです。

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$$

一般に、$n$ 個の事象では次の形になります。

$$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i} P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap \cdots \cap A_n)$$

言葉で言うと、「1つずつ足す、2つの重なりを引く、3つの重なりを足す」と、符号を交互に変えながら進みます。

部活の名簿をイメージしてください。野球部、書道部、将棋部の名簿をつなげて人数を数えると、掛け持ちの人が二重に数えられます。そこで2部の掛け持ちを引きます。ところが、3部すべてを掛け持ちしている人は、最初に3回足され、次に3回引かれて、いなかったことになってしまいます。そこで、最後に足し戻すのです。

具体的に見てみましょう。1から100までの整数から1つ選ぶとき、2、3、5の少なくとも1つで割り切れる個数を数えます。

【個数の計算】

1. 1つずつ足す： 50 + 33 + 20 = 103
2. 2つの重なりを引く： 6の倍数16個、10の倍数10個、15の倍数6個で、103 − 32 = 71
3. 3つの重なりを足す： 30の倍数3個で、71 + 3 = 74

したがって、確率は0.74です。

例題：プレゼント交換

4人がプレゼントをランダムに交換します。全員が他の人のプレゼントを受け取る確率を求めましょう。

【解き方】

1. $A_i$ を「$i$ さんが自分のプレゼントを受け取る」とする。求めるのは $1 - P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)$
2. 配り方は全部で $4! = 24$ 通り。特定の $k$ 人が自分の品を受け取る配り方は $(4-k)!$ 通り
3. $k$ 人の選び方は ${}_{4}\mathrm{C}_k$ 通りなので、包除原理の第 $k$ 項の大きさは ${}_{4}\mathrm{C}_k \times (4-k)! \div 4! = 1/k!$
4. したがって $P(A_1 \cup \cdots \cup A_4) = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} - \dfrac{1}{4!} = \dfrac{15}{24}$

答えは $1 - 15/24 = 9/24 = 0.375$ です。

同じ計算を $n$ 人で行うと、全員が他の人の品を受け取る確率は次のようになります。

$$1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \ \longrightarrow\ e^{-1} \approx 0.368 \quad (n \to \infty)$$

冒頭の約37%の正体は、この $e^{-1}$ です。$n$ が増えると、1人あたりの当たりにくさと人数の多さが、ちょうど打ち消し合うのです。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 包除原理の第1項だけで打ち切ると、$P(\bigcup A_i) \le \sum P(A_i)$ という不等式が得られます。これはボンフェローニの不等式と呼ばれ、後の記事の多重比較で使います。

以上が、包除原理についての説明です。

条件付き確率と統計的独立

条件の世界だけを切り出して、それを全体と見直す

続いて、情報が増えたときの確率について解説します。

条件付き確率 は、$B$ が起こったと分かったもとで $A$ が起こる確率です。$P(B) > 0$ のとき、次のように定義します。

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

言葉で言うと、「$B$ が起こった世界だけを切り出して、それを全体と見直す」ということです。1年分のカレンダーから雨の日だけを切り出して、その中で遅刻した日の割合を数えるイメージです。

例えば、サイコロを2個振って、目の和が10以上だったとします。和が10以上の組は (4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6) の6通りです。このうち1個目が6なのは3通りなので、条件付き確率は $3/6 = 1/2$ です。何も情報がなければ $1/6$ だった確率が、情報によって3倍になりました。

定義の分母を払うと、2級で学んだ 乗法定理 になります。事象が増えても、順番に掛けていけば大丈夫です。

$$P(A \cap B \cap C) = P(A)\, P(B \mid A)\, P(C \mid A \cap B)$$

例えば、当たり3本を含む10本のくじを3人が順に引いて、全員が当たる確率は $\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{120}$ です。

次に、統計的独立 です。事象 $A$ と $B$ が次の式を満たすとき、独立であると言います。

$$P(A \cap B) = P(A)\, P(B)$$

$P(B) > 0$ なら、これは $P(A \mid B) = P(A)$ と同じ意味です。つまり、独立とは「$B$ の情報を聞いても、$A$ の確率が変わらない」ということです。

例えば、トランプ52枚から1枚引くとき、「ハートである」確率は $1/4$、「エースである」確率は $1/13$ です。「ハートのエースである」確率は $1/52 = 1/4 \times 1/13$ なので、この2つは独立です。

ここで、よくある混同を整理しましょう。排反と独立は別物です。

【排反と独立の違い】

• 排反： 同時に起こらない。$P(A \cap B) = 0$
• 独立： 一方の情報が、他方の確率を変えない。$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

サイコロの「偶数」と「奇数」は排反です。偶数と聞けば、奇数の確率は0になります。情報が確率を大きく変えているので、独立ではありません。$P(A) > 0$ かつ $P(B) > 0$ なら、排反な2事象は決して独立になりません。

さらに、3つ以上の事象では注意が必要です。$A, B, C$ が 互いに独立 であるとは、2つずつの積の式に加えて、次の式まで成り立つことを言います。

$$P(A \cap B \cap C) = P(A)\, P(B)\, P(C)$$

コインを2枚投げて、$A$ を「1枚目が表」、$B$ を「2枚目が表」、$C$ を「2枚が同じ面」とします。どの確率も $1/2$ で、どの2つの重なりも確率 $1/4$ なので、2つずつは独立です。ところが、$A \cap B \cap C$ は「2枚とも表」で確率 $1/4$ となり、$1/8$ ではありません。$A$ と $B$ が分かると $C$ は確定してしまうからです。

試験のポイント：「2つずつ独立」でも「互いに独立」とは限りません。また、独立かどうかは、積の式が成り立つかを計算して確かめます。

以上が、条件付き確率と統計的独立についての解説です。

ベイズの定理：結果から原因をさかのぼる

陽性の中では誤った陽性が多く、本当に病気は8.8%

最後に、ベイズの定理を見ていきましょう。

ベイズの定理 は、「原因から結果」の確率を使って、「結果から原因」の確率を求める公式です。現場の足跡から犯人をしぼり込む、名探偵の推理のようなものです。

準備として、全確率の公式を確認します。事象 $B_1, \dots, B_k$ が互いに排反で、合わせると全体になるとき、次の式が成り立ちます。

$$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(B_i)\, P(A \mid B_i)$$

これは、「$A$ が起こる道筋を、原因ごとに場合分けして足す」という式です。これを条件付き確率の定義に入れると、ベイズの定理が得られます。

$$P(B_j \mid A) = \frac{P(B_j)\, P(A \mid B_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(B_i)\, P(A \mid B_i)}$$

$P(B_j)$ は結果を見る前の確率で、事前確率 と呼びます。$P(B_j \mid A)$ は結果を見た後の確率で、事後確率 と呼びます。要するに、ベイズの定理は「データを見て確率を更新する公式」です。

具体的に見てみましょう。ある病気の有病率が1%で、検査は病気の人の95%を陽性とし（感度）、健康な人の90%を陰性とします（特異度）。陽性と出た人が本当に病気である確率はいくらでしょうか？

1万人で考えると分かりやすいです。病気の人は100人で、そのうち95人が陽性です。健康な人は9,900人で、その10%の990人が誤って陽性になります。

$$P(\text{病気} \mid \text{陽性}) = \frac{0.01 \times 0.95}{0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.10} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.088$$

約8.8%です。95%の精度の検査で陽性でも、本当に病気である確率は1割に届きません。もともと健康な人の数が圧倒的に多いので、誤った陽性が本物の陽性を上回るのです。

ここがポイントです。事後確率は、検査の精度だけでは決まりません。事前確率も同じだけ効きます。

更新は何度でも繰り返せます。同じ性能の別の検査を受け、病気の有無を固定すると2つの結果が独立だとします。2回目も陽性なら、0.088を新しい事前確率として同じ計算をします。

$$\frac{0.0876 \times 0.95}{0.0876 \times 0.95 + 0.9124 \times 0.10} \approx 0.477$$

2回の陽性で、約48%まで上がりました。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。受信メールの30%が迷惑メールで、「当選」という語は迷惑メールの60%、通常のメールの5%に含まれるとします。「当選」を含むメールが迷惑メールである確率は $0.18 \div (0.18 + 0.035) \approx 0.837$ です。迷惑メールのふるい分けは、この計算を多くの語について繰り返すものです。

例題：不良品はどの工場から来たか

ある製品を3つの工場が作っています。生産量の割合はA工場50%、B工場30%、C工場20%で、不良品の割合はそれぞれ1%、2%、5%です。不良品が1個見つかったとき、それがC工場の製品である確率を求めましょう。

【解き方】

1. 全確率の公式で不良品の確率を求める： $0.5 \times 0.01 + 0.3 \times 0.02 + 0.2 \times 0.05 = 0.021$
2. C工場の道筋の確率は $0.2 \times 0.05 = 0.010$
3. ベイズの定理より $0.010 \div 0.021 \approx 0.476$

答えは約0.476です。生産量は20%でも、不良品の中では半分近くを占めます。

試験のポイント：ベイズの定理の問題は、$P(\text{結果} \mid \text{原因})$ と $P(\text{原因} \mid \text{結果})$ の取り違えを問います。原因ごとの道筋の確率を書き出し、結果に合う道筋の中の割合をとると、間違えません。

以上が、ベイズの定理についての説明です。

細かい計算が分からなかったとしても問題ありません。ここでは、「重なりは足し引きで直す」「情報が増えたら全体を見直す」という2点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

重なりを直し、世界を切り出し、結果から原因へさかのぼる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は確率の計算の土台と、包除原理、条件付き確率、統計的独立、ベイズの定理について紹介しました。どれも新しい魔法ではなく、「重なりをどう直すか」「情報でどう全体を見直すか」を、ていねいに式にしたものです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 確率は3つの約束から出発する。「少なくとも1つ」は余事象から求めると楽なことが多い。
• 包除原理は、部活の名簿の掛け持ち直し。足す、引く、足すを交互に繰り返す。
• 条件付き確率は、条件の世界だけを切り出して全体と見直したもの。
• 独立は「情報を聞いても確率が変わらない」こと。排反とは別物で、3つ以上なら全部の積の式を確かめる。
• ベイズの定理は結果から原因をさかのぼる公式で、事後確率は事前確率にも左右される。

キーワードのおさらい

• 確率の計算: 公理、余事象、場合の数を使って確率を求めること
• 包除原理: 和事象の確率を、重なりの確率の足し引きで求める公式
• 条件付き確率: $B$ が起こったもとで $A$ が起こる確率 $P(A \cap B) / P(B)$
• 統計的独立: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つこと
• ベイズの定理: 事前確率と結果の確率から、事後確率を求める公式

さて、今回は「事象」という1つ1つの出来事を相手にしてきました。でも統計で扱うのは、身長や来店者数のように数値をとる確率変数です。2つの確率変数が絡み合うとき、その関係はどう書けばよいのでしょうか？ そして、分布の情報を丸ごと1つの関数に詰め込むことはできるのでしょうか？

次回は、同時分布・周辺分布・条件つき分布と、「母関数」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。