散らばりなどの指標 — 分散からジニ係数まで

2級-4　推測統計の基礎

散らばりなどの指標 — 分散からジニ係数まで

分散（n-1で割る）
標準偏差
範囲（最小値
最大値）
四分位範囲
箱ひげ図
ローレンツ曲線
ジニ係数
2つのグラフの視覚的比較
カイ二乗値（一様な頻度からのずれ）
歪度
尖度

はじめに

「真ん中の点数は同じなのに、クラスの雰囲気が全然ちがうんだけど？」

A組とB組で同じテストをしたところ、中央値はどちらも60点でした。ところが、A組は多くの人が50点台から60点台に集まり、B組は30点台の人も90点台の人もいました。

中心の指標だけでは、この違いは見えません。平均値や中央値は「山の位置」を教えてくれますが、「山の幅」や「山の形」は教えてくれないのです。

実は、分布を評価する物差しは、中心のほかにもたくさんあります。平均からの離れ具合、真ん中の半分の広さ、お金の分け方の偏り、分布の左右の傾きまで、それぞれ専用の指標があります。

そこで登場するのが、今回の主役 散らばりなどの指標 です。健康診断に、血圧や血糖値といった複数の項目があるようなものです。1つの数値で全部は分からないので、項目ごとに見ていきます。

前回の記事では、分布の中心を表す指標を学びました。今回の記事では、分散と標準偏差、四分位範囲と箱ひげ図、ローレンツ曲線とジニ係数、カイ二乗値、歪度と尖度について解説します。

分散と標準偏差：平均からの距離をならす

はじめに、最もよく使われる分散と標準偏差について解説します。

3級で学んだように、散らばりは「各データが平均からどれくらい離れているか」で測ります。ところが、偏差をそのまま足すと、前回学んだとおり必ず0になってしまいます。そこで、偏差を二乗して符号を消してから、平均をとります。

2級では、分散を次の式で定めます。

s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

記号の意味は、 $x_i$ が各データ、 $\bar{x}$ が平均値、 $n$ がデータの個数です。言葉で言うと、「偏差の二乗を全部足して、 $n-1$ で割る」です。

ここがポイントです。3級では $n$ で割る形を基本にしましたが、2級の範囲では $n-1$ で割る形が基本です。なぜ1を引くのでしょうか？偏差の合計は必ず0になるので、 $n-1$ 個の偏差が決まると、最後の1個は自動的に決まります。自由に動けるのは $n-1$ 個だけなのです。

例えば、3人でケーキを分けるとき、2人の取り分が決まれば、最後の1人の取り分は決まってしまいますよね。この「自由に動ける個数」を 自由度 と呼びます。 $n-1$ で割る分散が、標本から母分散を偏りなく推定できることは、点推定の記事で学びます。

分散は二乗しているので、単位も二乗になります。点数なら「点の二乗」です。これでは感覚がつかめないので、平方根をとって単位を元に戻します。これが 標準偏差 です。

s = \sqrt{s^2}

一言で言うと、標準偏差は「平均からの典型的な離れ具合」です。

計算には、次の変形もよく使います。

\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2

例題：分散と標準偏差を求める

5個のデータ 4, 7, 8, 10, 11 の分散と標準偏差を求めましょう。

【解き方】

平均値を求める： (4 + 7 + 8 + 10 + 11) ÷ 5 = 8
偏差を求める： −4, −1, 0, 2, 3
偏差の二乗を合計する： 16 + 1 + 0 + 4 + 9 = 30
$n-1$ で割る： 30 ÷ 4 = 7.5
平方根をとる： $\sqrt{7.5} \approx 2.74$

答えは、分散7.5、標準偏差約2.74です。変形の式でも、 $350 - 5 \times 8^2 = 30$ となって一致します。

試験のポイント：問題に指定がなければ、2級の分散は $n-1$ で割ります。 $n$ で割る形を指定されたときは、それに従います。

以上が、分散と標準偏差についての解説です。

範囲・四分位範囲・箱ひげ図：順番で散らばりを見る

次に、順番にもとづく指標について説明します。

分散は全データを使うので、平均値と同じく外れ値に引っ張られます。そこで、中央値の仲間として、順番で散らばりを見る指標があります。

範囲は、最大値から最小値を引いた値です。計算は簡単ですが、両端の2人しか見ていません。クラスの実力を、1位と最下位だけで語るようなものです。

そこで、両端を切り落として真ん中を見ます。データを小さい順に4等分する3つの値が四分位数です。4級で学んだとおり、下半分の中央値が第1四分位数 $Q_1$ 、全体の中央値が第2四分位数 $Q_2$ 、上半分の中央値が第3四分位数 $Q_3$ です。データの個数が奇数のときは、中央値を除いて半分に分けます。

\text{四分位範囲} = Q_3 - Q_1

四分位範囲 は、真ん中の約50%のデータが入る区間の広さです。

具体的に見てみましょう。冒頭のA組11人の点数は、次のとおりでした。

42, 48, 52, 55, 58, 60, 62, 65, 68, 72, 95

中央値は6番目の60点です。下半分の5人の中央値は52点、上半分の5人の中央値は68点です。したがって、四分位範囲は 68 − 52 = 16 点です。範囲は 95 − 42 = 53 点なので、たった1人の95点が範囲を大きく広げていることが分かります。

これらを1つの図にしたものが 箱ひげ図 です。 $Q_1$ から $Q_3$ までを箱で、中央値を箱の中の線で表し、箱の両側へひげを伸ばします。

ひげの端の決め方には、2通りあります。最小値と最大値まで伸ばす方法と、外れ値を別の点で示す方法です。後者でよく使う基準は次のとおりです。

【外れ値の基準の例】

$Q_1 - 1.5 \times$ 四分位範囲より小さい値
$Q_3 + 1.5 \times$ 四分位範囲より大きい値

A組では、 $68 + 1.5 \times 16 = 92$ が上の境界です。95点はこれを超えるので、外れ値として点で描かれ、ひげは72点までになります。

2つのグラフの視覚的比較

試験で多いのは、箱ひげ図やヒストグラムを並べて分布を比べる問題です。この 2つのグラフの視覚的比較 では、次の順に見ます。

【グラフを比べる順番】

軸の目盛りがそろっているかを確かめる
中心を比べる：中央値の線の位置
散らばりを比べる：箱の長さ、ひげの長さ
形を比べる：箱の中の線の片寄り、外れ値

例題：2つの箱ひげ図を比べる

A組とB組（各11人）の箱ひげ図から、次の値を読み取りました。

	最小値	$Q_1$	中央値	$Q_3$	最大値	四分位範囲
A組	42	52	60	68	95	16
B組	30	45	60	76	92	31

70点以上の人の割合が大きいのは、どちらの組でしょうか？

【解き方】

上位約25%の境目である $Q_3$ を見る
B組の $Q_3$ は76点なので、約4分の1の人が76点以上いる
A組の $Q_3$ は68点なので、70点以上の人は約4分の1より少ない

答えはB組です。実際の人数は、A組が2人、B組が4人です。

ここで、よくある間違いを押さえておきましょう。箱が長いからといって、そこに人が多いわけではありません。箱の中の人数は、長さによらず全体の約半分です。箱が長いのは、同じ人数が広い区間に薄く広がっているという意味です。

試験のポイント：箱ひげ図からは、平均値や山の数は読み取れません。読めるのは、5つの要約の値と、そこから分かる割合です。

以上が、順番にもとづく指標についての説明です。

ローレンツ曲線とジニ係数：分け方の偏りを測る

続いて、ローレンツ曲線とジニ係数について解説します。

これまでの指標は「値がどれだけ散らばっているか」を測りました。ここで測るのは、「全体の合計が、どれだけ一部の人に偏っているか」です。

1枚のピザを5人で分ける場面を想像してください。全員に同じ量なら平等です。1人が半分を持っていけば、不平等です。この偏りを線で描いたものが ローレンツ曲線、数にしたものが ジニ係数 です。主に所得や資産の格差を測るときに使います。

【ローレンツ曲線の描き方】

所得の低い順に人を並べる
横軸に人数の累積比率、縦軸に所得の累積比率をとる
点を線で結ぶ

全員の所得が同じなら、下位20%の人が全体の20%を持ち、線は対角線になります。この線を 均等分配線 と呼びます。偏りがあると、ローレンツ曲線は均等分配線より下にふくらみます。ふくらみが大きいほど、不平等です。

ジニ係数 は、このふくらみの面積を0から1の値にしたものです。

G = \frac{\text{均等分配線とローレンツ曲線に囲まれた面積}}{\text{均等分配線の下の三角形の面積}}

分母の三角形の面積は $\frac{1}{2}$ なので、ジニ係数は囲まれた面積の2倍です。全員が等しければ0、1人がすべてを持てば1に近づきます。

例題：ジニ係数を求める

5世帯の所得が、低い順に 1, 2, 3, 4, 10（百万円）でした。ジニ係数を求めましょう。

【解き方】

合計を求める： 20
累積比率の表を作る

世帯の累積比率	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
所得の累積比率	0	0.05	0.15	0.30	0.50	1.00

ローレンツ曲線の下の面積を、台形5つの和で求める

0.2 \times \left(\frac{0 + 0.05}{2} + \frac{0.05 + 0.15}{2} + \frac{0.15 + 0.30}{2} + \frac{0.30 + 0.50}{2} + \frac{0.50 + 1.00}{2}\right) = 0.3

囲まれた面積を求める： 0.5 − 0.3 = 0.2
2倍する： 0.2 × 2 = 0.4

答えは0.4です。表からは、「下位60%の世帯の所得は全体の30%」「上位20%の世帯が全体の50%を持つ」といったことも読み取れます。

試験のポイント：ローレンツ曲線が均等分配線から離れるほど、ジニ係数は大きくなり、不平等の度合いが高いことを表します。

以上が、ローレンツ曲線とジニ係数についての解説です。

カイ二乗値：一様からのずれを測る

次に、カテゴリの度数の偏りを測るカイ二乗値について説明します。

分散は量的変数の指標でした。質的変数にも「どれくらい偏っているか」を測りたい場面があります。例えば、「このサイコロの目の出方は均等か？」「3つのメニューの人気に差はあるか？」といった問いです。

ここで使うのが カイ二乗値 です。実際の度数と、全カテゴリが同じ頻度だったときの度数の差を、1つの数にまとめます。

\chi^2 = \sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

記号の意味は、 $O_i$ が実際に観測された度数、 $E_i$ が期待される度数、 $k$ がカテゴリの数です。一様な頻度からのずれを見るときは、全カテゴリの $E_i$ を「総数 ÷ カテゴリの数」とします。言葉で言うと、「ズレの二乗を、期待される度数で割って全部足す」です。

二乗するのは、分散のときと同じく、プラスとマイナスのズレが打ち消し合うのを防ぐためです。 $E_i$ で割るのは、ズレの重みをそろえるためです。期待が20のときの10のズレは大きいですが、期待が1,000のときの10のズレは小さいですよね。

具体的に見てみましょう。サイコロを60回投げて、次の結果が出たとします。

目	1	2	3	4	5	6
回数	8	12	9	11	7	13

均等なら、どの目も 60 ÷ 6 = 10 回です。ズレの二乗は順に 4, 4, 1, 1, 9, 9 なので、合計は28です。これを10で割って、カイ二乗値は2.8になります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。90人に3種類のラーメンの好みを聞いたところ、しょうゆ40人、みそ30人、塩20人でした。均等なら各30人なので、 $\chi^2 = (100 + 0 + 100) \div 30 \approx 6.67$ です。

カイ二乗値は、完全に一様なら0で、偏るほど大きくなります。ただし、総数に比例して大きくなる点に注意が必要です。同じ割合のまま900人に増やすと、カイ二乗値は10倍の約66.7になります。この値が「偶然と言えるほど小さいか」の判定は、適合度検定の記事で学びます。

以上が、カイ二乗値についての説明です。

歪度と尖度：分布の形を数で表す

最後に、分布の形を数で表す歪度と尖度を見ていきましょう。

分布の記事では、「右に裾が長い」といった形を言葉で表しました。これを数にしたものが、歪度と尖度です。どちらも、標準化した値の3乗、4乗の平均です。

\text{歪度} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^3

\text{尖度} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4 - 3

歪度は、左右の傾きを表します。3乗は符号を残すので、右へ遠く離れた値があるとプラスに、左へ遠く離れた値があるとマイナスに大きく傾きます。シーソーの支点からの「重さの偏り」を測るイメージです。

尖度は、山のとがり具合と裾の重さを表します。4乗は符号を消して、遠くの値を特に強く数えます。上の式では、正規分布のとき0になるように3を引いています。

【歪度と尖度の読み方】

歪度 > 0：右に裾が長い
歪度 = 0：左右対称（正規分布など）
歪度 < 0：左に裾が長い
尖度 > 0：正規分布より山がとがり、裾が重い
尖度 < 0：正規分布より山が平たく、裾が軽い

例えば、データ 1, 2, 3, 4, 10 の歪度を計算してみましょう。平均値は4、偏差は −3, −2, −1, 0, 6 です。ここでは $n$ で割った分散を使うと、分散は10、 $s \approx 3.16$ になります。偏差の3乗の平均は36なので、歪度は $36 \div 3.16^3 \approx 1.14$ です。プラスの値なので、10の方向、つまり右に裾が長いことが数で分かります。