統計学 学習ノート

はじめに

0.9gのズレは機械の狂いか、たまたまのばらつきか

「内容量60gって書いてあるけど、本当に60gあるの？」

スナック菓子の袋を開けたとき、こう思ったことはありませんか？ 例えば、あなたが工場の品質管理を任されたとしましょう。25袋を抜き取って量ると、平均は60.9gでした。この0.9gのズレは、機械の調子が狂っているサインでしょうか？ それとも、たまたまのばらつきでしょうか？

工場で気になることは、平均だけではありません。「部品の長さのばらつきが増えたのではないか」「不良品の割合が基準を超えたのではないか」といった疑問も出てきます。平均、ばらつき、割合と、調べたいものはそれぞれ違いますよね。

実は、これらの疑問は、どれも同じ手順で答えられます。取り替えるのは「検定統計量の式」と「見比べる分布」の2つだけです。

そこで登場するのが、今回の主役 母平均の検定、母分散の検定、母比率の検定 です。

前回の記事では、帰無仮説、p値、2種類の過誤といった検定の考え方を学びました。今回の記事では、その考え方を使って、1つの母集団について3種類の検定を最後まで解く手順を解説します。

検定の手順は1つだけ

手順は1つのレシピ。材料を替えれば別の検定になる

はじめに、どの検定にも共通する手順について解説します。

前回の記事で見たように、仮説検定は裁判に似ています。「無罪」にあたる帰無仮説をいったん認めて、それではデータの説明がつかないときにだけ「有罪」、つまり棄却と判断するのでした。この流れは、3級で学んだ母平均・母比率の検定でも、今回の3つの検定でも、まったく同じです。

【検定の5つの手順】

1. 帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を立てる
2. 有意水準 $\alpha$ を決める（多くは5%）
3. データから検定統計量を計算する
4. 棄却域と見比べる、または p値を求める
5. 結論を言葉で述べる

料理に例えると、これは1つのレシピです。鍋に入れる材料だけを取り替えれば、別の料理ができます。今回の材料を一覧にすると、次のようになります。

調べたいもの	条件	検定統計量	見比べる分布
母平均	母分散が既知	$z$	標準正規分布
母平均	母分散が未知	$t$	自由度 n−1 の t分布
母分散	正規母集団	$\chi^2$	自由度 n−1 のカイ二乗分布
母比率	標本が大きい	$z$	標準正規分布（近似）

式を見る前に、1つだけ押さえておきましょう。$z$ と $t$ は、どれも次の形をしています。

$$\text{検定統計量} = \frac{\text{標本から求めた値} - \text{帰無仮説の値}}{\text{標準誤差}}$$

要するに、「ズレが標準誤差という物差し何本分か」を測っているのです。例えば、ズレが0.9gで物差しが0.4gなら、物差し2.25本分のズレです。2本分を超えるようなズレは、たまたまでは起きにくいと考えます。

棄却域の境目は、分布表から読み取ります。この記事では、上側確率が $\alpha$ になる点を $z_{\alpha}$、$t_{\alpha}(n-1)$、$\chi^2_{\alpha}(n-1)$ と書きます。標準正規分布なら $z_{0.025}=1.96$、$z_{0.05}=1.645$ です。

以上が、検定に共通する手順についての解説です。

母平均の検定：zとtを使い分ける

σが分かればz、分からなければ裾の広いtで判定する

次に、母平均の検定について説明します。

母平均の検定 は、母平均が基準の値 $\mu_0$ と等しいかどうかを調べる検定です。母分散が分かっているかどうかで、使う式が2つに分かれます。1つずつ見ていきましょう。

1. 母分散が分かっているとき

過去の膨大な記録などから、母標準偏差 $\sigma$ が分かっているときは、次の $z$ を使います。

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ は標本平均、$\mu_0$ は帰無仮説の母平均、$n$ は標本の大きさです。言葉で言うと、標本平均のズレを、標本平均の標準偏差 $\sigma/\sqrt{n}$ で割った値です。母集団が正規分布に従うなら、$H_0$ が正しいときに $z$ は標準正規分布に従います。

例題：内容量の検定（両側）

袋の内容量の母標準偏差は2gと分かっています。25袋の平均が60.9gのとき、母平均は60gと言えるかを有意水準5%で検定しましょう。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: \mu = 60$、$H_1: \mu \neq 60$（多くても少なくても困るので両側）
2. 有意水準は5%なので、棄却域は $|z| > 1.96$
3. 検定統計量を計算する： $z = (60.9 - 60) \div (2 \div \sqrt{25}) = 0.9 \div 0.4 = 2.25$
4. 2.25 > 1.96 なので棄却域に入る（p値は約0.024）
5. 結論： $H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、母平均は60gとは言えない」です。

2. 母分散が分からないとき

実際には、母分散が分からないことのほうが多いです。このときは、$\sigma$ を標本から求めた $s$ に置き換えます。$s$ は、$n-1$ で割った不偏分散の平方根です。

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

物差しの長さまで標本から見積もるので、そのぶん不確かさが増えます。そのため、母集団が正規分布に従うとき、$H_0$ のもとで $t$ は標準正規分布より裾の広い、自由度 $n-1$ の t分布に従います。

例題：電池の持ちの検定（片側）

公称の電池持ちが20時間の製品を10台試すと、次の結果でした。公称より短いと言えるかを、有意水準5%で検定しましょう。

19.2, 20.1, 18.8, 19.5, 20.4, 19.0, 19.7, 18.9, 19.6, 19.8

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: \mu = 20$、$H_1: \mu < 20$（短いことだけを疑うので片側）
2. 自由度は 10 − 1 = 9。$t_{0.05}(9) = 1.833$ なので、棄却域は $t < -1.833$
3. 標本平均は19.5、不偏分散は約0.278、$s$ は約0.527
4. 検定統計量を計算する： $t = (19.5 - 20) \div (0.527 \div \sqrt{10}) = -0.5 \div 0.1667 = -3.0$
5. −3.0 < −1.833 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、公称より短いと言える」です。

自由度が大きくなると、t分布は標準正規分布に近づきます。上側2.5%点は、自由度9で2.262、自由度100で1.984となり、$z_{0.025}=1.96$ に迫っていきます。

検定と区間推定は、表と裏の関係にあります。例えば、この電池のデータから母平均の95%信頼区間を求めると、19.12〜19.88です。20はこの外にあるので、両側検定でも有意水準5%で棄却されます。つまり、「95%信頼区間が $\mu_0$ を含まない」ことと「両側5%の検定で棄却される」ことは同じ意味です。

試験のポイント：問題文の「母標準偏差」か「標本から求めた標準偏差」かを最初に確かめます。前者なら $z$、後者なら自由度 $n-1$ の $t$ です。

以上が、母平均の検定についての説明です。

母分散の検定：ばらつきそのものを調べる

ばらつきはχ²で調べる。26.25は上側5%の境目を超える

続いて、母分散の検定について解説します。

ダーツを思い浮かべてください。平均すると的の中心に当たっていても、矢が大きく散らばっていては、よい投げ手とは言えませんよね。工場の部品も同じで、平均が基準どおりでも、ばらつきが大きければ不良品が増えます。

母分散の検定 は、母分散が基準の値 $\sigma_0^2$ と等しいかどうかを調べる検定です。検定統計量は引き算ではなく、比の形になります。

$$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$$

$s^2$ は不偏分散、$\sigma_0^2$ は帰無仮説の母分散です。言葉で言うと、標本のばらつきが基準の何倍かを見ています。$s^2$ が基準どおりなら、この値は自由度 $n-1$ の近くになります。

母集団が正規分布に従うとき、$H_0$ のもとでこの値は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従います。カイ二乗分布は左右対称ではないので、下側と上側の点を別々に分布表から読みます。また、正規分布の仮定が崩れると結果が大きく狂いやすい検定です。

例題：部品のばらつきの検定

部品の長さの母分散の基準は0.04mm²です。新しい工程で16個を測ると、不偏分散は0.07でした。ばらつきが増えたと言えるかを、有意水準5%で検定しましょう。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: \sigma^2 = 0.04$、$H_1: \sigma^2 > 0.04$
2. 自由度は15。$\chi^2_{0.05}(15) = 25.00$ なので、棄却域は $\chi^2 > 25.00$
3. 検定統計量を計算する： $\chi^2 = 15 \times 0.07 \div 0.04 = 26.25$
4. 26.25 > 25.00 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、ばらつきが増えたと言える」です。

ここがポイントです。もし $H_1: \sigma^2 \neq 0.04$ の両側検定なら、棄却域の境目は下側の $\chi^2_{0.975}(15) = 6.26$ と上側の $\chi^2_{0.025}(15) = 27.49$ に変わります。26.25はこの間にあるので、棄却できません。同じデータでも、対立仮説の立て方で結論が変わるのです。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。ばらつきが「減った」ことを示したいときは、下側で判定します。基準が同じ0.04で、21個の不偏分散が0.02なら、$\chi^2 = 20 \times 0.02 \div 0.04 = 10$ です。下側5%点の $\chi^2_{0.95}(20) = 10.85$ より小さいので、減ったと言えます。

試験のポイント：カイ二乗分布の表は上側確率で引きます。下側5%の点は「上側0.95」の欄です。

以上が、母分散の検定についての解説です。

母比率の検定：割合を調べる

当たりの率0.07は、物差し0.015の2本分だけ公表より低い

最後に、母比率の検定を見ていきましょう。

母比率の検定 は、母比率が基準の値 $p_0$ と等しいかどうかを調べる検定です。味見に例えると、鍋全体が基準どおりの味かを、ひとさじで確かめるようなものです。

$n$ 回のうち当たりが出た回数は二項分布に従います。$n$ が大きければ、二項分布は正規分布で近似できるのでした。そこで、標本比率 $\hat{p}$ について、次の $z$ を使います。

$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$$

ここで分母に注意してください。区間推定では $\hat{p}$ を使いましたが、検定では帰無仮説の $p_0$ を使います。検定は「$H_0$ が正しいとしたら」と考えるので、物差しも $H_0$ の値で作るのです。近似を使う目安は、$np_0$ と $n(1-p_0)$ がともに5以上であることです。

例題：ガチャの当たり確率の検定

当たりの確率が10%と公表されているガチャを400回引くと、当たりは28回でした。公表より低いと言えるかを、有意水準5%で検定しましょう。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: p = 0.1$、$H_1: p < 0.1$
2. 棄却域は $z < -1.645$
3. 標本比率は 28 ÷ 400 = 0.07
4. 分母は $\sqrt{0.1 \times 0.9 \div 400} = 0.015$
5. 検定統計量を計算する： $z = (0.07 - 0.1) \div 0.015 = -2.0$
6. −2.0 < −1.645 なので、$H_0$ を棄却する

答えは「有意水準5%で、公表より低いと言える」です。p値は約0.023です。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。ある提案の賛成率が過半数かを調べるため、900人に聞くと477人が賛成でした。$\hat{p} = 0.53$ で、$z = 0.03 \div (0.5 \div 30) = 1.8$ です。

片側検定（$H_1: p > 0.5$）なら 1.8 > 1.645 で棄却されますが、両側検定なら 1.8 < 1.96 で棄却されません。どちらを使うかは、データを見る前に、問いに合わせて決めます。結果を見てから都合のよいほうを選ぶのは反則です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： $n$ が小さいときは、正規近似を使わず、二項分布の確率を直接足します。例えば、10回中8回以上表が出る確率は、公平なコインなら 56 ÷ 1024 = 約0.055 です。

以上が、母比率の検定についての説明です。

細かい式を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「手順は同じで、調べたいものに合わせて検定統計量と分布を取り替える」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

手順は同じで、検定統計量と分布だけを取り替える

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は1つの母集団についての3種類の検定を紹介しました。式は違って見えますが、やっていることは「基準の値からのズレが、たまたまと言える範囲かどうか」を確かめるだけです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 検定の手順は1つ。取り替えるのは検定統計量と見比べる分布だけ。
• 母平均は、母分散が既知なら $z$、未知なら自由度 $n-1$ の $t$ を使う。
• 母分散は比の形の $\chi^2$ を使う。分布は左右対称ではないので、上側と下側の点を別々に読む。
• 母比率は正規近似の $z$ を使う。分母の物差しは $p_0$ で作る。
• 両側5%の検定と95%信頼区間は、表と裏の関係にある。

キーワードのおさらい

• 母平均の検定: 母平均が基準の値と等しいかを、$z$ または $t$ で調べる検定
• 母分散の検定: 母分散が基準の値と等しいかを、カイ二乗分布で調べる検定
• 母比率の検定: 母比率が基準の値と等しいかを、正規近似の $z$ で調べる検定

さて、今回は基準の値が決まっていました。でも、実際には「新しい教材と古い教材、どちらの平均点が高いか」のように、2つのグループを比べたいことも多いですよね。

次回は、平均の差、分散の比、比率の差を調べる「2つの母集団の仮説検定」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。