統計学 学習ノート

はじめに

裁判のように、まず無罪を仮定して証拠を見る

「疑わしきは罰せず」という言葉があります。

裁判では、被告人はまず無罪として扱われます。検察が十分な証拠を積み上げて、「無罪だとすると、こんな証拠が揃うのはおかしい」と示せたときだけ、有罪になります。証拠が足りなければ、無罪です。ただしそれは「潔白が証明された」という意味ではありません。

統計にも、これとまったく同じ考え方があります。例えば、友達のコインを10回投げたら、9回表が出たとしましょう。「このコイン、イカサマじゃない？」と思いますよね。でも、公平なコインでも、たまたまそうなることはあります。どこから先を「たまたまとは言えない」と考えればよいのでしょうか？

実は、この判断には決まった手順があります。3級で手順を学んだ、あの方法です。

そこで登場するのが、今回の主役 仮説検定 です。3級では計算の流れを見ました。2級では、p値 や 第1種の過誤と第2種の過誤、検出力 といった、検定の中身を理解することが目標です。

前回の記事では、差の区間が0を含むかどうかで判断する方法を学びました。今回の記事では、その判断を支える仮説検定の理論について解説します。

仮説検定の理論：背理法で考える

H₀の世界で棄却域に入れば、H₀を捨てる

はじめに、検定の全体の流れについて解説します。

仮説検定の理論 の核は、背理法です。「言いたいことの反対を仮定して、それが無理だと示す」という論法です。ここで2つの仮説が登場します。これが 帰無仮説と対立仮説 です。

【2つの仮説】

• 帰無仮説（null hypothesis）$H_0$： 差がない、効果がないという、否定したい仮説
• 対立仮説（alternative hypothesis）$H_1$： 差がある、効果があるという、言いたい仮説

裁判に例えると、帰無仮説は「被告人は無罪」、対立仮説は「被告人は有罪」です。帰無という名前には、「無に帰す」、つまり最後に捨てたい仮説という意味があります。

帰無仮説は、「$\mu = 200$」のように等号で1つの値に決めます。値が1つに決まらないと、確率の計算ができないからです。

手順は、次の5段階です。

【仮説検定の手順】

1. 帰無仮説と対立仮説を立てる
2. 有意水準 $\alpha$ を決める（ふつうは5%か1%）
3. 検定統計量を計算する
4. 棄却域と比べる（または、p値と $\alpha$ を比べる）
5. 結論を述べる

検定統計量 は、データが帰無仮説からどれくらい離れているかを1つの数にしたものです。有意水準 は、「これより珍しければ偶然とは考えない」という境界の確率です。棄却域 は、検定統計量がそこに入ったら帰無仮説を捨てる範囲です。

具体的に見てみましょう。

例題：お菓子の内容量を検定する

内容量が200gと表示されたお菓子を36袋調べると、平均は202gでした。標準偏差は $\sigma = 6$ で既知とします。平均は表示とちがうと言えるでしょうか？ 有意水準5%で検定しましょう。

【解き方】

1. 仮説を立てる： $H_0: \mu = 200$、$H_1: \mu \ne 200$
2. 有意水準は5%で、棄却域は $|Z| \ge 1.96$
3. 検定統計量を計算する： $Z = (202 - 200) \div (6 / \sqrt{36}) = 2$
4. 比べる： $2 \ge 1.96$ なので、棄却域に入る
5. 結論： $H_0$ を棄却し、平均は200gではないと判断する

答えは、「有意水準5%で、平均は表示と異なると言える」です。このように帰無仮説を捨てることを 棄却 と言います。

結論の言い方

ここが大切なポイントです。検定の結論は、次の2つしかありません。

【検定の結論】

• 検定統計量が棄却域に入る： $H_0$ を棄却し、$H_1$ を支持する
• 検定統計量が棄却域に入らない： $H_0$ を棄却できない

2つ目は「$H_0$ が正しい」ではありません。裁判の無罪判決が、潔白の証明ではないのと同じです。証拠が足りなかっただけなのです。

以上が、仮説検定の理論についての解説です。

両側検定と片側検定

両側は門番を2か所に分け、片側は1か所に集める

次に、両側検定と片側検定 の違いについて説明します。

対立仮説の向きによって、棄却域の場所が変わります。

【対立仮説と棄却域（有意水準5%、$Z$ を使う場合）】

• 両側検定： $H_1: \mu \ne \mu_0$ で、棄却域は $|Z| \ge 1.96$
• 右片側検定： $H_1: \mu > \mu_0$ で、棄却域は $Z \ge 1.645$
• 左片側検定： $H_1: \mu < \mu_0$ で、棄却域は $Z \le -1.645$

両側検定では、5%を左右に2.5%ずつ分けます。片側検定では、5%全部を片側に置きます。門番を2か所に半分ずつ配置するか、怪しい側の1か所に全員集めるか、という違いです。

例えば、お菓子の例で考えます。「表示と違うかどうか」を知りたいなら、多くても少なくても問題なので、両側検定です。一方、消費者団体が「表示より少ないのではないか」を調べるなら、$H_1: \mu < 200$ の左片側検定です。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。新しい薬で血圧が下がるかを調べるなら、下がる向きだけに興味があるので片側検定です。新しい製法で部品の長さが変わるかを調べるなら、どちらにズレても困るので両側検定です。

ここで注意があります。片側か両側かは、データを見る前に決めます。結果を見てから「こちら向きなら有意だ」と選ぶのは、的を射たあとで的を描くようなものです。

試験のポイント：同じ有意水準なら、片側の棄却域の境界（1.645）は両側（1.96）より内側です。問題文の「異なる」「大きい」「小さい」から、どの検定かを読み取りましょう。

以上が、両側検定と片側検定についての説明です。

p値：データの珍しさの目盛り

p値は、H₀のもとで観測値以上に極端な値が出る確率

続いて、結論を数字で表す方法を見ていきましょう。

p値 は、帰無仮説が正しいとしたときに、観測された値以上に極端な値が出る確率です。一言で言うと、「帰無仮説のもとでの、データの珍しさ」です。

判定はかんたんです。

$$p \le \alpha \ \Rightarrow\ H_0 \text{ を棄却する}$$

棄却域を使う方法と結論は同じです。p値のほうが、「ぎりぎりなのか、圧倒的なのか」まで分かる分だけ、情報が多いです。

お菓子の例では $Z = 2$ でした。

【p値の計算】

1. 上側確率を読む： $P(Z \ge 2) = 0.0228$
2. 両側検定なので2倍する： $0.0228 \times 2 = 0.0456$

p値は約0.046で、0.05以下なので棄却します。片側検定なら、p値は0.0228のままです。

コインの例でも計算してみましょう。公平なコイン（$H_0: p = 0.5$）を10回投げて、9回以上表が出る確率です。

$$P(X \ge 9) = \frac{{}_{10}\mathrm{C}_{9} + {}_{10}\mathrm{C}_{10}}{2^{10}} = \frac{11}{1024} \approx 0.011$$

イカサマを「表が出やすい」向きで疑うなら片側検定で、p値は約0.011です。公平なコインでこれが起きるのは約1%なので、5%の有意水準では棄却です。

p値の3つの誤解

p値は、最もよく誤解される言葉です。

【p値についての誤解】

1. p値は「帰無仮説が正しい確率」ではない。帰無仮説が正しいと仮定した上での、データの確率である
2. p値は「効果の大きさ」ではない。標本が大きければ、ごくわずかな差でもp値は小さくなる
3. 有意でないことは「差がない」ことではない。証拠が足りないだけかもしれない

2つ目の例です。標準偏差10のテストで、4万人の平均が0.1点だけ基準より高かったとします。$Z = 0.1 \div (10 / 200) = 2$ となり、有意です。でも、0.1点の差に実用上の意味はほとんどありません。統計的に有意であることと、実際に重要であることは別なのです。

また、検定は区間推定の裏表でもあります。お菓子の例の95%信頼区間は $202 \pm 1.96$ で、200.04から203.96です。この区間は200を含みません。これは両側5%で棄却された結果と対応しています。

試験のポイント：p値の定義は「帰無仮説が正しいとき、観測値以上に極端な値が得られる確率」です。この言葉どおりの選択肢を選びましょう。

以上が、p値についての解説です。

第1種の過誤と第2種の過誤、そして検出力

棄却の線はH₀で引き、検出力は真の分布で測る

最後に、検定の間違いについて見ていきましょう。

検定は確率で判断するので、必ず間違いの可能性があります。真実と判断の組み合わせは、次の4通りです。

	$H_0$ を棄却しない	$H_0$ を棄却する
$H_0$ が正しい	正しい判断	第1種の過誤（確率 $\alpha$）
$H_1$ が正しい	第2種の過誤（確率 $\beta$）	正しい判断（確率 $1-\beta$）

第1種の過誤 は、帰無仮説が正しいのに棄却してしまう間違いです。第2種の過誤 は、帰無仮説が誤っているのに棄却しない間違いです。

裁判なら、第1種の過誤は冤罪で、第2種の過誤は真犯人を逃すことです。火災報知器なら、第1種の過誤は誤作動で、第2種の過誤は火事なのに鳴らないことです。「あわてんぼう」と「ぼんやりさん」と覚えると分かりやすいです。

第1種の過誤の確率は、有意水準 $\alpha$ と等しいです。私たちが事前に5%と決めた値が、そのまま冤罪の確率になります。

一方、対立仮説が正しいときに、正しく棄却できる確率を 検出力 と呼びます。

$$\text{検出力} = 1 - \beta$$

検出力は、「差があるときに、それを見つける力」です。性能の良い金属探知機ほど、本物の金属を見逃しません。

例題：検出力を計算する

$\sigma = 10$ の正規母集団から $n = 25$ の標本をとり、$H_0: \mu = 50$、$H_1: \mu > 50$ を有意水準5%で検定します。真の平均が55のときの検出力を求めましょう。

【解き方】

1. 標準誤差： $10 \div \sqrt{25} = 2$
2. 棄却域を標本平均で書く： $\bar{X} \ge 50 + 1.645 \times 2 = 53.29$
3. 真の平均55で標準化する： $z = (53.29 - 55) \div 2 = -0.855$
4. 検出力： $P(Z \ge -0.855) = 1 - P(Z \ge 0.855) \approx 0.80$

答えは約0.80です。第2種の過誤の確率は約0.20です。

ここがポイントです。手順の2番目までは $H_0$ の世界、3番目からは $H_1$ の世界で計算します。棄却の線は $H_0$ で引き、その線を超える確率は真の分布で測るのです。

検出力を上げる方法は、次の4つです。

【検出力が上がる条件】

1. 標本の大きさ $n$ を大きくする
2. 有意水準 $\alpha$ を大きくする
3. 真の値と帰無仮説の値の差が大きい
4. 母標準偏差 $\sigma$ が小さい

ただし、$\alpha$ を大きくすると、冤罪は増えます。さきほどの例で有意水準を1%に厳しくすると、検出力は約0.57まで下がります。第1種の過誤と第2種の過誤は、シーソーの関係にあるのです。一方、$n$ を増やせば、両方の過誤を同時に減らせます。$n = 100$ なら、有意水準5%のままで検出力はほぼ1になります。

試験のポイント：有意水準を小さくすると、第1種の過誤は減り、第2種の過誤は増えます。検出力は $1 - \beta$ で、第2種の過誤の確率そのものではありません。

以上が、第1種の過誤と第2種の過誤、そして検出力についての解説です。

細かい計算が分からなかったとしても問題ありません。ここでは、「帰無仮説を疑う手順と、2種類の間違いがある」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

仮定して、珍しさを測り、間違いの確率を管理する

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は仮説検定の理論について紹介しました。検定は、裁判と同じ構造を持っています。まず無罪（帰無仮説）を仮定し、データの珍しさを測り、十分に珍しければ棄却します。絶対に間違えない判決はありません。だからこそ、間違いの確率を自分で決めて管理するのです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 検定は背理法。帰無仮説を仮定して、データが珍しすぎれば棄却する。
• 棄却できないことは、帰無仮説が正しいという意味ではない。
• 対立仮説の向きで両側検定か片側検定を選ぶ。データを見る前に決める。
• p値は、帰無仮説のもとでのデータの珍しさ。帰無仮説が正しい確率ではない。
• 第1種の過誤は冤罪（確率 $\alpha$）、第2種の過誤は見逃し（確率 $\beta$）。検出力は $1 - \beta$。

キーワードのおさらい

• 仮説検定: 帰無仮説を仮定し、データから棄却するかどうかを判断する方法
• 帰無仮説（$H_0$）: 差がない、効果がないという、否定したい仮説
• 対立仮説（$H_1$）: 差がある、効果があるという、言いたい仮説
• p値: 帰無仮説が正しいとき、観測値以上に極端な値が出る確率
• 両側検定: どちらの向きの差も調べる検定
• 片側検定: 一方の向きの差だけを調べる検定
• 第1種の過誤: 正しい帰無仮説を棄却する間違い
• 第2種の過誤: 誤っている帰無仮説を棄却しない間違い
• 検出力: 対立仮説が正しいときに、帰無仮説を正しく棄却する確率

さて、検定の考え方は分かりました。あとは、場面ごとの道具を手に取るだけです。平均ならt検定、分散ならカイ二乗検定と、区間推定で使った分布がそのまま再登場します。

次回は、母平均・母分散・母比率の検定を実際に解く「1つの母集団の仮説検定」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。