散らばりのグラフ表現

3級-12　データ分析の基本

ヒストグラム（柱状グラフ）
累積相対度数グラフ
幹葉図
箱ひげ図
はずれ値

はじめに

「平均も標準偏差も計算したのに、データの姿が見えてこない……」

健康診断の結果を思い浮かべてください。身長と体重の数字を見れば、大まかな体格は分かります。でも、その人がどんな姿をしているかは、写真を見たほうがずっと早いですよね。データも同じです。

例えば、平均点が60点で標準偏差が20点のテストがあったとします。全体が20点から100点になだらかに広がっているのかもしれません。あるいは、45点あたりの集団と75点あたりの集団の2つに分かれているのかもしれません。数字だけでは区別がつきません。

実は、散らばりの本当の姿を見るには、グラフが欠かせません。しかも、グラフにはそれぞれ得意な見せ方があります。

そこで登場するのが、今回の主役である4つのグラフ、 ヒストグラム、幹葉図、累積相対度数グラフ、箱ひげ図 です。

前回の記事では、相関係数の数字だけでは形が分からないことを学びました。今回の記事では、散らばりをグラフで表す方法と、飛び離れた値の扱い方、グループどうしの比べ方について解説します。

ヒストグラムと幹葉図：分布の形を見る

はじめに、分布の形をそのまま見せる2つのグラフについて解説します。

ヒストグラム（柱状グラフ）は、4級で学んだように、横軸に階級、縦軸に度数をとり、隣どうしの柱をくっつけて並べたグラフです。山の数、山の位置、裾の長さといった全体の形が一目で分かります。写真でいえば全身写真です。

ただし、ヒストグラムの見え方は階級の幅で変わります。幅が広すぎると、全体が1つの塊になって細かい形が消えます。逆に狭すぎると、柱がギザギザになって大事な形が見えません。カメラのピントを合わせるように、ちょうどよい幅を選ぶ必要があります。

一方、ヒストグラムには弱点があります。階級にまとめると、もとの値が分からなくなることです。これを解決するのが 幹葉図 です。

幹葉図は、値を上の位（幹）と下の位（葉）に分けて並べた図です。木の幹から葉が生えている姿から名づけられました。例えば、15人のテストの点数は、次のように表せます。

幹（十の位）	葉（一の位）
4	5 8
5	2 6 7
6	0 3 3 5 9
7	1 4 8
8	2
9	1

読み方はシンプルです。幹が4で葉が5なら45点、幹が9で葉が1なら91点です。葉の数がそのまま度数なので、横に倒すとヒストグラムと同じ形が見えます。

ここがポイントです。幹葉図には1つ1つの値が残っているので、ここから統計量を計算できます。15人の真ん中は8番目で、葉を順に数えると、中央値は63点です。最頻値は2回現れる63点、範囲は 91 − 45 = 46 点です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）：階級の幅がそろっていないヒストグラムでは、柱の高さではなく、面積が度数を表すように描きます。

以上が、分布の形を見せるグラフについての解説です。

累積相対度数グラフ：割合を読み取る

次に、累積相対度数グラフについて説明します。

前に学んだように、累積相対度数 は、相対度数をその階級まで足し上げた値です。これを、階級の上端の位置に点で打って線で結んだものが 累積相対度数グラフ です。

イメージは、登山の標高グラフです。歩くほど標高は積み重なっていき、途中で下がることはありません。累積相対度数も、下は0から始まり、右上がりに進んで、最後に1に届きます。

【累積相対度数グラフの読み方】

縦軸の0.5に対応する横軸の値：中央値
縦軸の0.25、0.75に対応する横軸の値：第1四分位数、第3四分位数
傾きが急なところ：データが多く集まっている階級
傾きがゆるいところ：データが少ない階級

具体的に見てみましょう。200人のテストの結果が、次のようだったとします。

階級（点）	0〜20	20〜40	40〜60	60〜80	80〜100
相対度数	0.05	0.15	0.30	0.35	0.15
累積相対度数	0.05	0.20	0.50	0.85	1.00

このグラフは、点数20のところで0.05、40のところで0.20、60のところで0.50を通ります。つまり、60点の位置で0.5に届くので、中央値は約60点です。グラフの上で線を読むと、第1四分位数は約43点、第3四分位数は約74点と読み取れます。

このグラフの強みは、割合の質問にすぐ答えられることです。例えば、「40点までに全体の何％がいるか」は、高さを読むだけで20％と分かります。

例題：累積相対度数を読み取る

先ほどの200人のデータについて、次の問いに答えましょう。(1) 60点以上の人は全体の何％でしょうか？ (2) 80点以上の人は何人でしょうか？ (3) 人が最も集まっている階級はどれでしょうか？

【解き方】

60点までの累積相対度数は0.50なので、1 − 0.50 = 0.50 より、50％
80点までが0.85なので、1 − 0.85 = 0.15。200 × 0.15 = 30 より、30人
隣の点との差が最大の階級を探す。0.85 − 0.50 = 0.35 の「60〜80」で、傾きが最も急

答えは、(1) 50％、(2) 30人、(3) 60〜80点の階級です。

試験のポイント：累積相対度数グラフでは、縦軸0.5の位置が中央値、傾きの急な部分がデータの多い階級です。

以上が、累積相対度数グラフについての説明です。

箱ひげ図とはずれ値

続いて、箱ひげ図とはずれ値について解説します。

4級で学んだように、箱ひげ図 は、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値の5つの数で分布を要約した図です。この5つを 五数要約 と言います。箱は真ん中の約半分のデータの範囲を、箱の中の線は中央値を表します。

全身写真のヒストグラムに対して、箱ひげ図は身分証の情報のようなものです。細かい形は省きますが、要点が小さくまとまっています。

3級で押さえたいのは、はずれ値 の扱いです。はずれ値は、他の値から大きく離れた値のことで、4級の「外れ値」と同じものです。箱ひげ図では、次の基準ではずれ値を判定することがよくあります。

Q_1 - 1.5 \times (Q_3 - Q_1) \quad \text{より小さい値}

Q_3 + 1.5 \times (Q_3 - Q_1) \quad \text{より大きい値}

$Q_1$ と $Q_3$ は第1四分位数と第3四分位数、 $Q_3 - Q_1$ は四分位範囲です。言葉で言うと、「箱の端から、箱の長さの1.5倍より遠くにある値」です。はずれ値は点で打ち、ひげは、はずれ値を除いた最大値と最小値まで伸ばします。

例題：はずれ値を判定する

11人の通学時間（分）は、次のとおりです。はずれ値はありますか？

5, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 45

【解き方】

中央値は6番目の15。前半 5, 8, 10, 12, 13 の中央値から $Q_1 = 10$ 、後半 16, 18, 20, 22, 45 の中央値から $Q_3 = 20$
四分位範囲： 20 − 10 = 10
上の境界： 20 + 1.5 × 10 = 35
下の境界： 10 − 1.5 × 10 = −5

答えは、35より大きい45分がはずれ値です。下の境界より小さい値はありません。箱ひげ図では、ひげの右端は22分までで、45分は点で打ちます。

では、はずれ値を見つけたらどうすればよいのでしょうか？機械的に捨ててはいけません。健康診断の異常値と同じです。測り間違いかもしれませんし、本当に体に何か起きているのかもしれません。まず再検査をします。

【はずれ値を見つけたら】

原因を調べる：入力ミスや測定ミスがないか確かめる
ミスなら直す：直せないなら、理由を記録して分析から除く
本物なら残す：重要な情報かもしれないので、安易に消さない

はずれ値の影響も確かめましょう。先ほどの11人の平均値は約16.7分、標準偏差は約10.2分、中央値は15分でした。45分を除いて10人にすると、平均値は13.9分、標準偏差は約5.1分、中央値は14分です。標準偏差が半分になる一方、中央値はほとんど動きません。

試験のポイント：はずれ値の判定基準は「箱の端から四分位範囲の1.5倍より外」です。はずれ値を見つけても、原因を確かめずに除いてはいけません。

以上が、箱ひげ図とはずれ値についての解説です。

グループを比べる

最後に、グラフを使ってグループを比べる方法を見ていきましょう。

箱ひげ図が最も力を発揮するのは、グループの比較です。ヒストグラムをいくつも並べると読みにくいですが、箱ひげ図は横に並べるだけで、位置と散らばりの違いが見えます。背の順の列をいくつも並べて比べるようなものです。

例題：箱ひげ図の五数要約を読む

A組とB組のテストの五数要約は、次のとおりでした。読み取れることを整理しましょう。

	最小値	第1四分位数	中央値	第3四分位数	最大値
A組	35	55	65	75	95
B組	45	60	62	66	80

【読み取りの手順】

位置を比べる：中央値はA組が65点、B組が62点で、A組がやや高い
散らばりを比べる：四分位範囲はA組が20点、B組が6点で、B組は真ん中に集中している
割合を読む： A組は中央値が65点なので、半数以上が65点以上。B組で66点以上の人は、およそ25％

ここで間違えやすいのが、箱の長さの意味です。箱が長いからといって、人数が多いわけではありません。箱の中にはどのグループも約半数が入っています。箱が長いとは、同じ人数がより広い範囲に散らばっているという意味です。

せっかくなので、ヒストグラムとの対応も見てみましょう。右に裾が長い分布では、箱ひげ図の右のひげが長くなり、中央値が箱の左寄りに来ます。分布の形と箱の形は、こうして対応しています。

でも、これには弱点があります。箱ひげ図は5つの数だけで作るので、山が2つある分布でも箱は1つです。冒頭の「45点あたりと75点あたりに分かれたテスト」でも、箱ひげ図だけでは気づけません。山の数を確かめるには、ヒストグラムや幹葉図の出番です。

4つのグラフの使い分けをまとめます。

グラフ	得意なこと	苦手なこと
ヒストグラム	分布の形、山の数を見る	もとの値が分からない
幹葉図	形と値を同時に見る	データが多いと描けない
累積相対度数グラフ	割合や四分位数を読む	山の形が直感的に見えない
箱ひげ図	グループを比べる、はずれ値を示す	山の数が分からない