統計学 学習ノート

はじめに

合格者の72%が塾生でも、塾生の72%が合格したとは言えない

「合格者の72%が塾に通っていた！ だから塾に行けば合格できる？」

こんな広告を見たら、気持ちが動いてしまいますよね。でも、この数字だけでは、塾に通った人のうち何%が合格したのかは分かりません。もともと受験生の多くが塾に通っていたなら、合格者の多くが塾生なのは当たり前です。

実は、2つの項目を一緒に見るときは、「何を全体として割合を出すのか」で、数字の意味がまるで変わります。

そこで登場するのが、今回の主役 クロス集計表 です。4級では、クロス集計表の見方と、行比率と列比率を学びました。前回の記事では、1つの変数を度数分布表にまとめました。今回の記事では、2つの変数を一度に数える 2元の度数分布表 としてクロス集計表を作り直し、数字の向きをまちがえずに読み取る方法について解説します。

クロス集計表を作る

靴箱のように、2つの変数の組み合わせでマスが決まる

はじめに、クロス集計表の作り方について解説します。

クロス集計表（cross table） は、2つの変数の値の組み合わせごとに、度数を数えた表です。前回の度数分布表が1列の棚だとすれば、クロス集計表は、縦と横に区切られた格子状の棚です。靴箱のように、縦の位置と横の位置の両方で入る場所が決まります。

このため、2元の度数分布表 とも呼ばれます。「2元」は、2つの変数で分けるという意味です。

具体的に見てみましょう。10人の生徒の、部活の種類と朝食の習慣を調べました。

生徒	部活	朝食
1	運動部	毎日
2	文化部	毎日
3	運動部	毎日
4	運動部	ときどき
5	文化部	ときどき
6	文化部	毎日
7	運動部	毎日
8	文化部	ときどき
9	運動部	毎日
10	文化部	ときどき

【クロス集計表の作り方】

1. 一方の変数の値を行に、もう一方の変数の値を列に並べる
2. 1人ずつ、組み合わせのマスに印を付けて数える
3. 行ごと、列ごとの合計を端に書く
4. 全体の合計が人数と一致するか確かめる

できあがった表は、次のとおりです。

部活	毎日	ときどき	合計
運動部	4	1	5
文化部	2	3	5
合計	6	4	10

表の中のマスの1つ1つを セル と呼びます。右端と下端の合計は 周辺度数 と言います。周辺度数は、それぞれ1つの変数だけで数えた度数と同じです。運動部5人、文化部5人というのが、部活だけの度数分布表にあたります。

表の縦の項目と横の項目は入れ替えても構いません。ただし、原因と考えるものを行に置き、結果と考えるものを列に置くと、後で比率を読みやすくなります。

以上が、クロス集計表の作り方についての解説です。

3つの比率と読み取り

同じ72人でも、分母を変えると36%、60%、72%になる

次に、クロス集計表の比率の読み方について説明します。

人数が違うグループを比べるには、度数のままではなく比率に直します。ここで、4級で学んだ行比率と列比率が活躍します。比率には3種類あります。

【クロス集計表の3つの比率】

1. 全体比率： セルの度数 ÷ 全体の合計
2. 行比率： セルの度数 ÷ その行の合計
3. 列比率： セルの度数 ÷ その列の合計

要するに、「分母を何にするか」が違います。

冒頭の塾の例で計算してみましょう。受験生200人の結果が、次のようだったとします。

	合格	不合格	合計
塾あり	72	48	120
塾なし	28	52	80
合計	100	100	200

塾ありで合格した72人のセルを、3つの見方で読みます。

比率	計算	読み方
全体比率	72 ÷ 200 = 0.36	受験生全体の36%が「塾あり・合格」
行比率	72 ÷ 120 = 0.60	塾に通った人の60%が合格
列比率	72 ÷ 100 = 0.72	合格者の72%が塾に通っていた

同じ72人なのに、36%、60%、72%と3つの数字が出ました。広告が使ったのは、一番大きく見える列比率です。

では、塾の効果らしきものを見たいときは、どの比率を見ればよいでしょうか？ 答えは行比率です。「塾に通った人のうち何%が合格したか」と「通わなかった人のうち何%が合格したか」を比べます。

塾あり： 72 ÷ 120 = 60%、塾なし： 28 ÷ 80 = 35%

この25ポイントの差が、比べるべき数字です。比べたいグループを分母に置くのが原則です。

もちろん、これは観察研究なので、差のすべてが塾のおかげとは言えません。実験の記事で学んだように、もともとの学習意欲の違いが混ざっている可能性があります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。「交通事故の7割は晴れの日に起きている」という話があったとします。晴れの日は危険なように聞こえますよね。しかし、これは事故を分母にした比率です。晴れの日がもともと多ければ、事故が晴れの日に多いのは当然です。危険かどうかを知るには、「晴れの日1日あたりの事故件数」と「雨の日1日あたりの事故件数」のように、天気を分母にして比べる必要があります。

ここがポイントです。「AのうちBの割合」と「BのうちAの割合」は、まったく別の数字です。

例題：比率の向きを見分ける

ある町の200人に、自転車に乗るかどうかと、ヘルメットを持っているかを聞きました。

	ヘルメットあり	ヘルメットなし	合計
自転車に乗る	30	90	120
乗らない	10	70	80
合計	40	160	200

「自転車に乗る人のうち、ヘルメットを持つ人の割合」と、「ヘルメットを持つ人のうち、自転車に乗る人の割合」を、それぞれ求めましょう。

【解き方】

1. 前者の分母は「自転車に乗る人」： 30 ÷ 120 = 0.25
2. 後者の分母は「ヘルメットを持つ人」： 30 ÷ 40 = 0.75

答えは、25%と75%です。「〜のうち」の「〜」が分母になります。問題文のこの言葉に線を引くと、まちがえません。

試験のポイント：比率の問題は、「〜のうち」を見つけて分母を決めます。行比率と列比率の取り違えは、選択肢の定番です。

以上が、比率の読み方についての説明です。

2つの変数に関連はあるか

行比率がそろえば関連なし。比率が変われば関連あり

続いて、2つの変数の関連の見方について解説します。

関連がある とは、一方の変数の値によって、もう一方の比率が変わることです。逆に、どの行でも行比率がそろっていれば、関連はないと考えます。

冒頭の塾の表を、次のように変えてみましょう。

	合格	不合格	合計
塾あり	60	60	120
塾なし	40	40	80
合計	100	100	200

行比率は、塾ありも塾なしも50%です。全体の合格率も50%です。この場合、塾の有無と合否には関連がないと読み取れます。

一方で、度数だけを見ると、合格者は塾ありのほうが60人と多いですよね。これは塾ありの人数が多いだけです。度数ではなく比率で見ることの大切さが分かります。

前々回のモザイク図で言えば、横線がまっすぐ通っている状態です。クロス集計表は数字で、モザイク図は形で、同じことを見ています。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 関連の強さを数で確かめる方法は、2級で学ぶカイ二乗検定につながります。また、全体で見た比率の大小が、グループに分けて見ると逆転することがあります。集計の前に、第3の変数がないかも考えるとよいでしょう。

以上が、関連の見方についての解説です。

量的変数のクロス集計表

散布図を方眼に区切って数えると、量的変数の表になる

最後に、量的変数でクロス集計表を作る方法を見ていきましょう。

ここまでの例は質的変数でした。量的変数でも、度数分布表と同じように階級に分ければ、クロス集計表が作れます。前々回の散布図を、方眼に区切ってマスごとに点を数えたものだと考えてください。

具体的に見てみましょう。40人の数学と英語の得点を、3つの階級に分けて数えました。

数学 ＼ 英語	0〜39点	40〜69点	70〜100点	合計
0〜39点	6	3	1	10
40〜69点	4	12	4	20
70〜100点	0	5	5	10
合計	10	20	10	40

左上から右下への斜めのマスに、度数が集まっていますね。これは、数学の得点が高い人ほど英語の得点も高い傾向を示します。表では数学の得点が下へ行くほど高くなるので、散布図の右上がりと同じ意味です。

条件を満たす人数は、マスを足し合わせて求めます。

例題：2元の度数分布表を読む

先ほどの40人の表について、数学も英語も40点以上の人は何人でしょうか？ また、それは全体の何%でしょうか？

【解き方】

1. 数学40点以上の行は、40〜69点と70〜100点の2行
2. 英語40点以上の列は、40〜69点と70〜100点の2列
3. 4つのセルを足す： 12 + 4 + 5 + 5 = 26
4. 全体で割る： 26 ÷ 40 = 0.65

答えは、26人で65%です。

例題：欠けたセルを埋める

次の表で、アとイに入る値を求めましょう。

	犬派	猫派	どちらでもない	合計
1組	14	ア	6	30
2組	イ	15	5	35
合計	29	25	11	65

【解き方】

1. 1組の行から： 30 − 14 − 6 = 10 なので、アは10
2. 2組の行から： 35 − 15 − 5 = 15 なので、イは15
3. 列の合計で検算する： 10 + 15 = 25、14 + 15 = 29 で一致する

答えは、アが10、イが15です。行でも列でも合計が使えるので、穴埋めは必ず検算ができます。

以上が、量的変数のクロス集計表についての説明です。

細かい呼び方を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「比率は分母を決めてから読む」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

組で数えて分母を決め、比べたいグループの比率で比べる

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は2変数のデータをクロス集計表にまとめ、読み取る方法について紹介しました。同じセルからでも、分母を変えるだけで違う数字が出てきます。人を動かす数字を見たときは、「何のうちの何%か」を確かめる習慣をつけましょう。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• クロス集計表は格子状の棚。2つの変数の組み合わせごとに度数を数える。
• 比率には全体比率、行比率、列比率の3種類があり、分母が違う。
• 「〜のうち」の「〜」が分母。グループを比べるときは、比べたいグループを分母に置く。
• 行比率がどの行でもそろっていれば、2つの変数に関連はない。
• 量的変数も、階級に分ければクロス集計表にできる。

キーワードのおさらい

• クロス集計表（2元の度数分布表）: 2つの変数の組み合わせごとに度数を数えた表
• セル: 表の中の1つ1つのマス
• 周辺度数: 行ごと、列ごとの合計
• 全体比率: セルの度数を全体の合計で割った値
• 行比率: セルの度数をその行の合計で割った値
• 列比率: セルの度数をその列の合計で割った値

さて、ここまでの表やグラフは、ある時点のデータを切り取ったものでした。では、売上や物価のように、時間とともに動き続けるデータはどう読めばよいでしょうか？

次回は、「時系列データ」について、指数と移動平均を紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。