統計学 学習ノート

はじめに

2倍に見えても、去年の同じ月より少ないかもしれない

「今月のアイスの売上、先月の2倍！ これは絶好調でしょ？」

そう喜びたくなりますが、少し待ってください。6月から7月にかけてアイスがよく売れるのは、毎年のことかもしれません。去年の7月と比べたら、むしろ減っている可能性もあります。

実は、時間の流れにそって並んだ数字には、いくつもの動きが重なっています。長い目で見た流れ、季節ごとの波、たまたまのブレです。これらを分けて見ないと、「絶好調」も「不調」も見誤ります。

そこで登場するのが、今回の主役 指数 と 移動平均 です。指数は基準をそろえて比べる道具、移動平均はギザギザをならして流れを見る道具です。どちらも4級で顔を合わせましたが、3級では計算と読み取りをもう一歩深めます。

前回の記事では、クロス集計表で2つの変数を同時に見ました。今回の記事では、時間とともに変わるデータの読み方について解説します。

時系列グラフ：4つの動きに分けて読む

時系列の線は、大きさの違う4つの動きが重なってできている

はじめに、時系列グラフの読み方について解説します。

時系列データ は、時間の順に並んだデータです。毎月の売上、毎日の気温、毎年の人口などがこれにあたります。これを、横軸に時間、縦軸に値をとって折れ線で結んだものが 時系列グラフ です。4級で学んだ折れ線グラフのうち、時間の流れを表すものと考えてください。

時系列グラフのギザギザは、1つの原因でできているわけではありません。例えば、登山道を思い浮かべてください。全体としては上り坂で、ところどころに大きな起伏があり、足元には小石が転がっています。時系列データも同じで、大きさの違う動きが重なっています。

【時系列データの4つの動き】

1. 傾向変動（トレンド）： 長い期間で見た、上がる・下がるの流れ
2. 季節変動： 1年周期でくり返す波。夏にアイスが売れるなど
3. 循環変動： 数年単位のゆるやかな上下。景気の波など
4. 不規則変動： ほかのどれにも当てはまらない、たまたまのブレ

ここがポイントです。季節変動があるデータでは、隣の月と比べるだけでは調子の良し悪しが分かりません。そこで、4級で学んだ 前年同月比 の出番です。去年の同じ月と比べれば、季節の波の影響を除けます。計算の土台は、これも4級で学んだ増減率です。

$$\text{増減率（％）} = \frac{\text{比較する時点の値} - \text{もとの時点の値}}{\text{もとの時点の値}} \times 100$$

分子は「どれだけ増えたか」、分母は「もとの値」です。言葉で言うと、もとの値の何％ぶん増えたかを表します。

具体的に見てみましょう。あるアイス店の売上が、次のようだったとします。

年月	2024年7月	2025年6月	2025年7月
売上（万円）	250	160	240

2025年7月を2つの方法で比べます。

【2つの比べ方】

• 前月比： (240 − 160) ÷ 160 × 100 = 50 より、50％の増加
• 前年同月比： (240 − 250) ÷ 250 × 100 = −4 より、4％の減少

同じ240万円でも、前月と比べれば大幅な増加で、去年と比べれば減少です。この店の調子を表すのは、季節の波を除いた前年同月比のほうです。

試験のポイント：季節変動のあるデータの比較では、前月比より前年同月比が適切です。

もう1つ、グラフの見方にも注意があります。縦軸の目盛りが0から始まっていないと、わずかな変化でも大きく見えます。時系列グラフを読むときは、線の形だけでなく、軸の数字も確かめましょう。

以上が、時系列グラフの読み方についての解説です。

指数：基準を100にそろえて比べる

スタートを100にそろえると、伸びの割合だけを比べられる

次に、指数について説明します。

指数 は、ある時点の値を基準の100として、他の時点の値を表した数です。公式で書くと、次のようになります。

$$\text{指数} = \frac{\text{比較時点の値}}{\text{基準時点の値}} \times 100$$

基準にする時点を 基準時点 と言います。イメージは、徒競走のスタートラインです。走る人の位置がばらばらだと、誰が速いのか分かりません。全員のスタートを100にそろえると、そこからの伸びだけを比べられます。

例えば、2020年に800円だったラーメンが2025年に920円に、200円だった牛乳が250円になったとします。

• ラーメン： 920 ÷ 800 × 100 = 115
• 牛乳： 250 ÷ 200 × 100 = 125

値上がりの金額はラーメンのほうが大きいですが、指数で比べると、値上がりの割合は牛乳のほうが大きいと分かります。このように、水準や単位の違うものの変化を比べられるのが、指数の強みです。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。ニュースでよく聞く 消費者物価指数 は、たくさんの品目の値段を、家計で使う金額の割合に応じた重みをつけて1つにまとめた指数です。物価という見えないものの状態を測る目印になります。このような、状態を判断する目印となる数値を 指標 と呼びます。指数は、代表的な指標の1つです。

3級の指数の問題では、次の2点が問われます。

1. ポイントと％は別もの

指数の差は「ポイント」で表します。例えば、指数が120から132に上がったとします。差は12ポイントですが、上昇率は (132 − 120) ÷ 120 × 100 = 10 より、10％です。12％ではありません。100を基準にした目盛りの差と、直前の値に対する割合は、別の数です。

2. 基準時点は変えられる

指数の基準時点を別の年に変えたいときは、すべての指数を新しい基準時点の指数で割って、100倍します。もとの金額が分からなくても計算できます。

例題：指数を読み取る

ある店の年間売上の指数（2020年 = 100）は、次のとおりでした。

年	2020	2021	2022	2023	2024
指数	100	104	110	121	132

(1) 2024年の売上は2020年の何％増しでしょうか？ (2) 2023年から2024年の上昇率は約何％でしょうか？ (3) 2022年を100とすると、2024年の指数はいくつでしょうか？

【解き方】

1. 基準の2020年が100なので、132 − 100 = 32 より、32％増し
2. 直前の値で割る： (132 − 121) ÷ 121 × 100 ≒ 9.1 より、約9.1％
3. 新しい基準で割る： 132 ÷ 110 × 100 = 120

(2) は「11ポイント上昇」と「約9.1％上昇」の違いに注意しましょう。基準時点と比べるときだけ、ポイントの差がそのまま％になります。

試験のポイント：指数どうしの変化率は、指数の差ではなく、比で計算します。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 1年目に10％、2年目に20％増えたとき、2年で 1.1 × 1.2 = 1.32 倍です。1年あたりの平均の伸びは15％ではありません。同じ率を2回掛けて1.32になる数は1.32の平方根で、約1.149なので、約14.9％です。このように掛け算でならす平均を幾何平均と呼びます。

以上が、指数についての説明です。

移動平均：ギザギザをならして流れを見る

窓を1つずつ滑らせて平均すると、ギザギザがならされる

最後に、移動平均を見ていきましょう。

移動平均 は、連続するいくつかの値の平均を、1時点ずつずらしながら求めたものです。平均に使う値の個数を 項数 と言います。

毎日体重を量る場面を考えてください。1日ごとの数字は、水分や食事で上下します。そこで「直近の数日の平均」を毎日計算すれば、やせているのか太っているのかという流れが見えてきます。連続する数日分だけが見える窓を、1日ずつ右へ滑らせていくイメージです。

3項移動平均の公式は、次のとおりです。

$$\bar{y}_t = \frac{y_{t-1} + y_t + y_{t+1}}{3}$$

$y_t$ は時点 $t$ の値、$\bar{y}_t$ は時点 $t$ の移動平均です。言葉で言うと、前の時点・その時点・次の時点の3つを平均して、真ん中の時点に置きます。

具体的に見てみましょう。

月	1	2	3	4	5	6	7
売上（万円）	12	18	15	21	24	18	27
3項移動平均	−	15	18	20	21	23	−

2月の値は (12 + 18 + 15) ÷ 3 = 15、3月の値は (18 + 15 + 21) ÷ 3 = 18 です。もとの売上は上がったり下がったりしていますが、移動平均は 15, 18, 20, 21, 23 と、右肩上がりの流れをはっきり示しています。

ただし、1月と7月には値がありません。前か後ろの値が足りないからです。一般に、$n$ 個のデータの $k$ 項移動平均は、$n - k + 1$ 個になります。

では、項数はどう決めればよいのでしょうか？

【項数の選び方】

• 項数を増やす： 線はなめらかになるが、急な変化に鈍くなり、両端で失う値が増える
• 項数を減らす： 変化に敏感だが、ギザギザが残りやすい
• 季節変動を消したい： 周期と同じ項数にする。四半期データなら4項、月次データなら12項

最後の点が、特に重要です。周期と同じ項数なら、どの窓にも春夏秋冬が1つずつ入るので、季節の波が打ち消されます。

ある店の四半期ごとの売上で確かめてみましょう。

四半期	1	2	3	4	5	6	7	8
売上（万円）	30	50	40	20	34	54	44	24

4項移動平均は 35, 36, 37, 38, 39 となり、波が消えて、1期に1万円ずつ伸びる傾向変動が見えました。一方、3項移動平均は約 40, 36.7, 31.3, 36, 44, 40.7 で、波が残ったままです。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 4項のように項数が偶数だと、平均の位置が2つの時点の間に来ます。隣り合う移動平均をさらに平均して、時点にそろえる方法があります。また、ニュースの「直近7日間の平均」は、真ん中ではなく最新の時点に平均を置く書き方です。

例題：移動平均を求める

ある店の7日間の来店者数は、41, 35, 38, 46, 40, 52, 44 人でした。5項移動平均はいくつ求まり、最初の値と最後の値はいくらでしょうか？

【解き方】

1. 個数を求める： 7 − 5 + 1 = 3 個
2. 最初の5日を平均する： (41 + 35 + 38 + 46 + 40) ÷ 5 = 40
3. 最後の5日を平均する： (38 + 46 + 40 + 52 + 44) ÷ 5 = 44

答えは、3個求まり、最初が40人、最後が44人です。

試験のポイント：移動平均はデータのギザギザをならし、傾向変動を見やすくします。その代わり、両端の値は求まりません。

以上が、移動平均についての説明です。

細かい計算を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「指数は基準をそろえる、移動平均は波をならす」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

動きを分けて読み、基準をそろえ、波をならす

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は時系列データの読み方として、時系列グラフ、指数、移動平均について紹介しました。時間とともに動く数字は、それだけを見ても意味が分かりません。「何と比べるか」と「どの動きを見たいのか」を決めて、はじめて読めるようになります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 時系列データは、傾向変動・季節変動・循環変動・不規則変動が重なってできている。
• 季節の波があるデータは、前月比より前年同月比で比べる。
• 指数は基準時点を100にそろえる道具。指数どうしの変化率は比で計算する。
• 移動平均は窓を滑らせて平均する道具。周期と同じ項数にすると季節の波が消える。

キーワードのおさらい

• 時系列グラフ: 横軸に時間をとり、値の変化を折れ線で表したグラフ
• 指数: 基準時点の値を100として他の時点の値を表した数
• 指標: 状態を判断するための目印となる数値
• 移動平均: 連続する値の平均を1時点ずつずらして求めたもの
• 項数: 移動平均で平均に使う値の個数

さて、移動平均では平均の力を借りてギザギザをならしました。では、その平均そのものは、どこまで使いこなせているでしょうか？ 人数の違う2つのクラスの平均を、そのまま足して2で割ってよいのでしょうか？

次回は、「代表値とその利用法」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。