統計学 学習ノート

はじめに

血液型の番号を平均しても、意味のある値にはならない

「血液型を番号にしたら、平均が出せるんじゃない？」

例えば、クラスのアンケートで、血液型を入力しやすいように A型を1、B型を2、O型を3、AB型を4と番号で集めたとします。5人の回答が 1, 1, 2, 3, 4 だったとしましょう。電卓に入れると、平均は2.2と出ます。

でも、「このグループの平均血液型は2.2です」と言われても、何のことか分かりませんよね。計算は合っているのに、結果には意味がないのです。

実は、データには「やってよい計算」と「やっても意味がない計算」があります。数字で書かれているからといって、足したり割ったりしてよいとは限りません。

そこで登場するのが、今回の主役 尺度 です。尺度とは、データの値がどんな性質の「ものさし」で測られているかを表す分類です。ものさしの種類が分かれば、そのデータに何をしてよいかが決まります。

4級では、データを量的データと質的データに分けました。今回から始まる3級では、この分類をもう一段細かくします。今回の記事では、変数の種類と、名義尺度、順序尺度、間隔尺度、比例尺度 の4つの尺度について解説します。

変数：量的変数と質的変数

名簿の列の1つ1つが変数。量的変数と質的変数に分かれる

はじめに、変数という言葉について解説します。

変数（variable） は、調べる相手ごとに値が変わる項目のことです。クラスの名簿を思い浮かべてください。1行が1人の生徒で、身長や血液型の列が並んでいます。この「列」の1つ1つが変数です。

生徒	身長（cm）	血液型	通学時間（分）
1	158	A	15
2	171	O	30
3	164	A	10

変数は、値の性質で2つに分かれます。

【変数の2つの種類】

1. 量的変数: 身長や通学時間のように、数量を表す変数
2. 質的変数: 血液型や部活のように、種類を表す変数。カテゴリ変数とも呼ぶ

4級の量的データと質的データを、列の名前として言い直したものだと考えてください。

ここで注意が必要です。数字で書かれていても、質的変数のことがあります。例えば、サッカーの背番号です。10番と20番の選手がいても、平均して「15番ぶんの選手」とは言いません。背番号は選手を区別する名札であって、数量ではないからです。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。郵便番号や出席番号も同じです。見分け方はシンプルで、「2つの値を足して2で割ったとき、意味があるか」を考えます。身長なら意味がありますが、郵便番号には意味がありません。

試験のポイント：数字で書かれていても、種類や名札を表すだけなら質的変数です。見た目ではなく、値が何を表しているかで判断します。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 量的変数はさらに、人数や回数のようにとびとびの値をとる離散変数と、身長や時間のように連続した値をとる連続変数に分けられます。

以上が、量的変数と質的変数についての解説です。

質的変数の尺度：名義尺度と順序尺度

名義尺度は区別だけ。順序尺度は順番は分かるが段差はバラバラ

次に、質的変数の2つの尺度について説明します。

質的変数は、「順番に意味があるかどうか」で分かれます。1つずつ見ていきましょう。

1. 名義尺度：名札として区別する

名義尺度（nominal scale） は、値が区別のためだけにある尺度です。名札のイメージです。血液型、都道府県、背番号、郵便番号がこれにあたります。

名札は「同じか、違うか」しか教えてくれません。A型とB型のどちらが大きいとは言えませんし、並べ替えても意味がありません。できるのは、種類ごとの人数を数えることと、最も多い値、つまり最頻値を見ることです。

冒頭の血液型の平均2.2に意味がなかったのは、名義尺度に足し算をしてしまったからです。番号の振り方を変えれば、平均はいくらでも変わってしまいます。

2. 順序尺度：順番だけ分かる

順序尺度（ordinal scale） は、値の順番に意味がある尺度です。かけっこの順位、成績の A・B・C、「とても満足」から「とても不満」までの5段階評価がこれにあたります。

順序尺度の大切な特徴は、順番は分かるが、間の幅はそろっていないことです。

例えば、マラソンの結果を考えてください。1位と2位の差が1秒で、2位と3位の差が10分だったとしても、順位の上ではどちらも「1つ違い」です。階段の段差がバラバラなのに、段の数だけを数えているようなものです。

順番に意味があるので、順序尺度では中央値が使えます。具体的に見てみましょう。5段階の満足度に7人が 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5 と答えたとします。小さい順に並んでいるので、真ん中の4番目を見て、中央値は4です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： アンケートの5段階評価の平均を出している報告は、実際にはよく見かけます。1と2の間と4と5の間が等しいと見なす、便宜上の扱いです。尺度の分類としては順序尺度なので、平均は本来の使い方ではないと覚えておきましょう。

以上が、名義尺度と順序尺度についての説明です。

量的変数の尺度：間隔尺度と比例尺度

0℃は約束の基準なので2倍と言えない。身長は0が何もないので言える

続いて、量的変数の2つの尺度について解説します。

量的変数は、「0が本当に『何もない』を表すかどうか」で分かれます。これも1つずつ見ていきましょう。

1. 間隔尺度：差には意味があるが、比には意味がない

間隔尺度（interval scale） は、目盛りの間隔がそろっていて、差に意味がある尺度です。ただし、0は「ここを基準にしよう」と決めた約束にすぎません。代表は、摂氏の気温と西暦です。

貯金箱で考えてみましょう。貯金0円は「お金が何もない」状態です。一方で、気温0℃は「温度が何もない」状態ではありません。水が凍る温度を、人間が0と決めただけです。

ここがポイントです。0が約束にすぎないと、「何倍」という比に意味がなくなります。

具体的に見てみましょう。ある日の気温が10℃、次の日が20℃だったとします。「昨日より10℃高い」は正しい表現です。しかし、「昨日の2倍暑い」とは言えません。同じ気温を華氏で表すと50度と68度になり、比は 68 ÷ 50 = 1.36 倍に変わってしまうからです。単位を変えただけで変わる比は、温度そのものの性質を表していません。

西暦も同じです。2000年は1000年の「2倍の年」ではありません。一方で、「1000年の差がある」という言い方は意味を持ちます。

2. 比例尺度：比にも意味がある

比例尺度（ratio scale） は、0が「何もない」を表し、差だけでなく比にも意味がある尺度です。比尺度とも呼ばれます。身長、体重、金額、時間、個数がこれにあたります。

例えば、身長150cmの人は、75cmの子どもの2倍の背丈です。インチに直すと約59.1インチと約29.5インチですが、比はやはり2倍です。単位を変えても比が変わらないのが、比例尺度の特徴です。

要するに、間隔尺度と比例尺度の違いは「2倍と言ってよいか」です。

試験のポイント：摂氏の気温は間隔尺度で、差には意味がありますが比には意味がありません。「0があるから比例尺度」と早合点しないようにしましょう。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 温度でも、理論上これ以上は下がらない温度を0とする絶対温度（ケルビン）は比例尺度です。テストの得点は、0点でも学力がゼロとは言えないので、間隔尺度として扱うのが一般的です。

以上が、間隔尺度と比例尺度についての解説です。

4つの尺度の見分け方

名義、順序、間隔、比例の順に、できることが1段ずつ増える

最後に、4つの尺度の見分け方を見ていきましょう。

4つの尺度は、できることが1段ずつ増える階段になっています。名義尺度さんは区別しかできませんが、順序尺度さんは順番も分かり、間隔尺度さんは差も分かり、比例尺度さんは比まで分かります。上の段は、下の段のことがすべてできます。

尺度	変数	区別	順番	差	比	使える代表値	例
名義尺度	質的	○	×	×	×	最頻値	血液型、郵便番号
順序尺度	質的	○	○	×	×	最頻値、中央値	順位、5段階評価
間隔尺度	量的	○	○	○	×	最頻値、中央値、平均値	摂氏の気温、西暦
比例尺度	量的	○	○	○	○	最頻値、中央値、平均値	身長、金額

迷ったときは、次の3つの質問を順番に当てはめます。

【尺度を見分ける3つの質問】

1. 順番に意味があるか？ なければ名義尺度
2. 値の差に意味があるか？ なければ順序尺度
3. 0が「何もない」を表し、「2倍」と言えるか？ 言えなければ間隔尺度、言えれば比例尺度

例題：尺度を見分ける

次の4つの変数は、それぞれどの尺度でしょうか？

電話番号の市外局番、水泳大会の順位、生まれた年（西暦）、1か月のお小遣いの金額

【解き方】

1. 市外局番： 順番に意味がないので、名義尺度
2. 水泳大会の順位： 順番に意味はあるが、1位と2位の差と2位と3位の差はそろっていないので、順序尺度
3. 生まれた年（西暦）： 差に意味はあるが、0年が「何もない」ではないので、間隔尺度
4. お小遣いの金額： 0円は「何もない」で、2倍と言えるので、比例尺度

例題：使える代表値を選ぶ

ラーメン店の味の評価を「星1つ」から「星5つ」で集めました。このデータの中心を表す代表値として、尺度の考え方から最も適切なのはどれでしょうか？

【考え方】

1. 星の数は順番に意味があるが、星1つと星2つの差が星4つと星5つの差と等しいとは言えない
2. したがって順序尺度である
3. 順序尺度は順番を使えるので、中央値が適切

答えは中央値です。最頻値も使えますが、平均値は差がそろっていることを前提にした値なので、本来の使い方ではありません。

試験のポイント：「平均値が使えるのは量的変数」「中央値は順序尺度から」「最頻値はどの尺度でも」と整理しておきましょう。

以上が、4つの尺度の見分け方についての説明です。

細かい例を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「名札、順番、差、比の順に、できることが増える」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

名札、順番、差、比の順に、やってよい計算が増える

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は変数の種類と4つの尺度について紹介しました。データは数字の顔をしていても、その中身はさまざまです。計算を始める前に「これは何のものさしか」を確かめるだけで、平均血液型のような意味のない数字を防げます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 変数は名簿の列のようなもので、量的変数と質的変数に分かれる。
• 質的変数は、名札の名義尺度と、順番が分かる順序尺度に分かれる。
• 量的変数は、差に意味がある間隔尺度と、比にも意味がある比例尺度に分かれる。
• 摂氏の0℃は約束の基準なので、「2倍暑い」とは言えない。
• 数字で書かれていても質的変数のことがある。見た目で決めない。

キーワードのおさらい

• 量的変数: 数量を表す変数。身長、通学時間など
• 質的変数: 種類を表す変数。血液型、部活など
• 名義尺度: 区別のためだけにある尺度。血液型、郵便番号など
• 順序尺度: 順番に意味があるが、間隔はそろっていない尺度。順位、5段階評価など
• 間隔尺度: 差に意味があるが、0は約束の基準で比に意味がない尺度。摂氏の気温、西暦など
• 比例尺度: 0が「何もない」を表し、比にも意味がある尺度。身長、金額など

さて、変数の種類が分かったところで、次はそのデータをどう集めるかです。全校生徒の考えを知りたいとき、全員に聞くべきでしょうか、それとも一部に聞けば十分でしょうか？

次回は、「母集団と標本」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。