統計学 学習ノート

はじめに

数字の表を形にすると、データの中身が一目で分かる

「百聞は一見にしかず」という言葉があります。

何度も話を聞くより、自分の目で一度見たほうがよく分かる、という意味です。データも同じです。度数分布表の数字を上から順に読むより、形にして眺めたほうが、ずっと早く特徴をつかめます。

例えば、健康診断で体の中の様子を知りたいとき、数値の一覧だけでなくレントゲン写真も見ますよね。写真なら、どこが出っ張っていて、どこが変わっているのかが一目で分かります。

実は、データにも「形」があります。山が1つのもの、2つのもの、片側に長く伸びたもの。この形を見ることで、数字の表だけでは気づかなかったことが見えてきます。

そこで登場するのが、今回の主役 ヒストグラム です。

前回の記事では、度数分布表でデータを階級に分けて数えました。今回の記事では、度数分布表を形にするヒストグラムと 幹葉図 の作り方、そして形から分布の特徴を読み取る方法について解説します。

ヒストグラム：度数分布表を柱にする

横軸が続いているので、ヒストグラムはすき間をあけない

はじめに、ヒストグラムについて解説します。

ヒストグラム は、度数分布表を柱の形で表したグラフです。日本語では 柱状グラフ とも呼びます。横軸に階級をとり、それぞれの階級の度数を柱の高さで表します。

前回の通学時間のデータで見てみましょう。度数の分だけ■を並べると、柱を横に倒した形が見えてきます。

階級（分）	度数	柱のイメージ
0以上10未満	2	■■
10以上20未満	6	■■■■■■
20以上30未満	7	■■■■■■■
30以上40未満	4	■■■■
40以上50未満	1	■

20分台を頂上にして、左右に下がっていく形が分かりますね。このようなデータの値の散らばり方のことを 分布 と言います。ヒストグラムは、分布を目で見るためのグラフです。

ヒストグラムは棒グラフに似ていますが、別物です。違いを整理しましょう。

	ヒストグラム	棒グラフ
使うデータ	量的データ	主に質的データ
横軸	連続した数の区間	項目
柱の間	すき間をあけない	すき間をあける
並び順	変えられない	変えてもよい

なぜ、すき間をあけないのでしょうか？ それは、横軸が数直線のように続いているからです。20分の次は、すぐに20分より少し長い値が続きます。「血液型」の項目のように、箱が別々に分かれているわけではないのです。

もう1つ、階級幅の決め方も大切です。カメラのピントのように、幅によって見え方が変わります。

例えば、通学時間を25分幅で分けると、度数は11と9になります。柱が2本だけでは、山の形は見えません。逆に1分幅にすると、ほとんどの柱の度数が0か1になって、ギザギザで形が分かりません。ちょうどよい幅を探すことが大切です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 階級幅が階級によって違うときは、柱の高さではなく面積が度数を表すように描きます。

試験のポイント：ヒストグラムは量的データの分布を見るグラフで、柱の間をあけずに描きます。

以上が、ヒストグラムについての解説です。

幹葉図：1つ1つの値を残して並べる

幹葉図なら、形を見せながら元の値も読める

次に、幹葉図について説明します。

ヒストグラムには弱点が1つあります。階級にまとめた時点で、元の値が見えなくなることです。例えば、20分台に7人いることは分かっても、20分の人がいるのか29分の人がいるのかは分かりません。

この弱点を補うのが 幹葉図 です。幹葉図は、値を上の位（幹）と下の位（葉）に分けて、葉を並べた図です。木の幹から葉が生えている姿から、この名前が付いています。

具体的に見てみましょう。通学時間の20個の値を、十の位を幹、一の位を葉にして並べます。

幹（十の位）	葉（一の位）
0	7 9
1	2 3 5 6 8 9
2	0 2 4 5 5 7 9
3	0 3 5 8
4	6

読み方はシンプルです。幹が2で葉が4なら、24分を表します。

【幹葉図の手順】

1. 値を幹と葉に分ける
2. 幹を縦に小さい順に並べる
3. 葉を幹の右に小さい順に並べる

幹ごとの葉の個数は、10分幅のヒストグラムの度数と一致しています。さらに、元の値も全部読めるのが強みです。形も見えて、値も残る、というわけです。

ただし、データの個数が多くなると、葉が長くなりすぎて書き切れません。数十個までのデータに向いた方法です。

例題：幹葉図を読み取る

この幹葉図を見て、次の2つに答えましょう。

1. 最も大きい値はいくつか
2. 25分以上の人は何人か

【解き方】

1. 一番下の幹4の葉は6だけなので、最も大きい値は46
2. 幹2で葉が5以上の値は 25, 25, 27, 29 の4個
3. 幹3の4個と幹4の1個を足す： 4 + 4 + 1 = 9

答えは、46分と9人です。

以上が、幹葉図についての説明です。

分布の形を読み取る

呼び方は裾が伸びる方向。右に裾が長い分布の山は左にある

続いて、ヒストグラムから分布の形を読み取る方法を解説します。見るべきポイントは2つです。

【分布の形を見るポイント】

1. 山はどんな形か、左右どちらかに伸びていないか
2. 山はいくつあるか

1つずつ見ていきましょう。

1. 山の形と裾

中央が高く、左右に向かって低くなる形の分布を 山型の分布 と言います。例えば、同じ学年の同じ性別の生徒の身長は、平均のあたりに人が集まり、とても高い人やとても低い人は少なくなります。

一方で、片側になだらかに伸びる分布もあります。山のふもとの広がりを裾と呼び、片側の裾が長く伸びた分布を 裾が長い分布（裾を引く分布）と言います。

例えば、1か月のお小遣いを考えてみましょう。多くの人は数千円のところに集まりますが、ごく少数の人がとても高い金額をもらっています。山は左に寄り、右に向かって細い裾が長く伸びます。これを「右に裾が長い」と言います。世帯の年収や貯蓄額も同じ形です。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。とても簡単なテストでは、多くの人が高い点数をとり、ごく一部の人だけが低い点数になります。山は右に寄り、裾は左に長く伸びます。これが「左に裾が長い」分布です。

ここがポイントです。「右に裾が長い」分布の山は、左側にあります。呼び方は山の位置ではなく、裾が伸びる方向です。

2. 山の数

山が1つの分布は 単峰性、山が2つ以上ある分布は 多峰性 と言います。「峰」は山の頂上のことです。単峰性と多峰性の違いは、データの背景を考える大きな手がかりになります。

例えば、ラーメン店で1日の来店時刻のヒストグラムを描いたとしましょう。昼の12時台と夜の18時台に、山が2つできます。お昼を食べに来る人と、夕食を食べに来る人が混ざっているからです。

別の例では、高校生の男女を合わせた身長があります。男女でそれぞれ中心が違うので、山が2つに見えることがあります。

つまり、多峰性の分布を見たら、「性質の違うグループが混ざっているのでは？」と疑いましょう。グループごとに分けて見直すと、理由が見えてきます。

例題：分布の形を読み取る

50人の1日のスマートフォン利用時間を調べました。

階級（時間）	0以上1未満	1以上2未満	2以上3未満	3以上4未満	4以上5未満	5以上6未満	6以上7未満
度数	12	18	9	5	3	2	1

この分布の形を答えましょう。また、3時間以上の人の割合を求めましょう。

【解き方】

1. 度数の山は1以上2未満の1つだけなので、単峰性
2. 山は左に寄り、右に向かって度数が少しずつ減るので、右に裾が長い分布
3. 3時間以上の人を足す： 5 + 3 + 2 + 1 = 11
4. 全体で割る： 11 ÷ 50 = 0.22

答えは、右に裾が長い単峰性の分布で、割合は22%です。

試験のポイント：「右に裾が長い」は、山が左に寄り、右に細く伸びる形です。年収や貯蓄額が代表例です。

以上が、分布の形の読み取り方についての解説です。

外れ値を見つける

離れた柱を見つけたら、消す前に理由を確かめる

最後に、外れ値について見ていきましょう。

外れ値 は、他の値から大きく離れた値です。ヒストグラムでは、本体の山から離れたところに、ぽつんと立つ柱として現れます。集合写真で、1人だけ遠くに立っている人がいれば、誰でも気づきますよね。

例えば、通学時間のデータに、遠くから通う95分の人が加わったとします。0分から50分までの山とは別に、90以上100未満のところに1本だけ柱が立ちます。間の40分ほどには柱がないので、すぐに目に留まります。

外れ値を見つけたら、すぐに消してはいけません。まず、なぜその値になったのかを確かめます。

【外れ値を見つけたときの考え方】

1. 記録のミスではないか： 身長165cmを1650cmと入力した、など
2. 本当にそういう値なのか： 遠くから通っている人が本当にいる、など

ミスなら正しい値に直します。本当の値なら、それ自体が大切な情報かもしれません。PPDACサイクルの Data の段階で点検する、という話を思い出してください。

また、外れ値があると、データの計算結果が大きく動くことがあります。この点は次回、くわしく見ていきます。

以上が、外れ値についての説明です。

細かい部分が分からなかったとしても問題ありません。ここでは、「数字を見る前に、まず形を見る」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

山の数、裾の向き、離れた値の3つを見る

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回はデータの形を目で見るヒストグラムと幹葉図、そして分布の読み取り方について紹介しました。データはレントゲン写真のように、形にすると中身が見えてきます。山の数と裾の向き、離れた値の3つを見るだけで、データの性格はかなり分かります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• ヒストグラムは、度数分布表を柱にしたグラフ。量的データに使い、柱の間はあけない。
• 幹葉図は、形を見せながら元の値も残す図。
• 片側に伸びた分布は、伸びる方向で呼ぶ。「右に裾が長い」分布の山は左にある。
• 山が2つ以上あれば、性質の違うグループが混ざっているかもしれない。
• 外れ値を見つけたら、消す前に理由を確かめる。

キーワードのおさらい

• ヒストグラム（柱状グラフ）: 度数分布表を柱の形で表したグラフ
• 幹葉図: 値を幹と葉に分け、元の値を残して並べた図
• 分布: データの値の散らばり方
• 山型の分布: 中央が高く、左右に向かって低くなる分布
• 裾が長い分布（裾を引く分布）: 片側の裾が長く伸びた分布
• 単峰性と多峰性: 山が1つの分布と、山が2つ以上ある分布
• 外れ値: 他の値から大きく離れた値

さて、ヒストグラムで分布の形が見えました。でも、人に伝えるときに毎回グラフを見せるのは大変ですよね。分布の真ん中を、たった1つの数で言えたら便利だと思いませんか？

次回は、データの中心を1つの数で表す「代表値」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。