統計学 学習ノート

はじめに

平均が同じ70点でも、広がりはまったく違う

「平均点は同じ70点なのに、あのクラスとは全然ちがう気がする……」

テストの結果を見て、こう感じたことはありませんか？ 実は、この感覚も正しいです。平均値が同じでも、データの中身がまったく違うことはよくあります。

例えば、2つのクラスから5人ずつ選んで、テストの点数を並べたとしましょう。

【2つのクラスの点数】

• Aクラス： 66点、68点、70点、72点、74点
• Bクラス： 30点、55点、70点、95点、100点

平均値を計算すると、どちらも70点です。中央値も、どちらも70点です。代表値だけを見れば、この2つのクラスは同じに見えます。でも、Aクラスはみんなが70点の近くにいるのに、Bクラスは30点の人も100点の人もいます。同じクラスとはとても言えませんよね。

実は、代表値が教えてくれるのはデータの「中心」だけです。データがどれくらい広がっているかは、別の数字で見る必要があります。この広がりのことを 散らばり と呼びます。

そこで登場するのが、今回の主役 範囲 です。範囲とは、データの端から端までの長さを1つの数で表したものです。

前回の記事では、データの中心を表す代表値を学びました。今回の記事では、散らばりを最も単純にとらえる 最小値、最大値、範囲 の求め方と、その弱点について解説します。

最小値と最大値：データの両端を見る

最小値と最大値はデータの両端。最低気温と最高気温も同じ

はじめに、最小値と最大値について解説します。

最小値（minimum） はデータの中で最も小さい値、最大値（maximum） はデータの中で最も大きい値です。背の順に並んだとき、列の先頭に立つ人と、いちばん後ろに立つ人の身長だと考えてください。

冒頭の点数で見てみましょう。Aクラスの最小値は66点、最大値は74点です。Bクラスの最小値は30点、最大値は100点です。両端を見るだけで、2つのクラスの違いがはっきり見えてきました。

実は、私たちは毎日この2つの値を使っています。天気予報の「最低気温」と「最高気温」です。「今日の最低気温は22℃、最高気温は31℃」というのは、1日の気温のデータの最小値と最大値を伝えています。朝と昼で何を着るかを決めるには、平均の気温よりも両端のほうが役に立ちますよね。

せっかくなので、表から読み取る例も見てみましょう。次の表は、あるお店の1週間の来店者数です。

曜日	月	火	水	木	金	土	日
来店者数（人）	32	28	35	30	41	58	52

最も少ないのは火曜日の28人、最も多いのは土曜日の58人です。したがって、最小値は28人、最大値は58人です。答えるのは「火曜日」や「土曜日」ではなく、28や58という値のほうです。前回の最頻値と同じで、「どこか」と「いくつか」を取り違えないようにしましょう。

以上が、最小値と最大値についての解説です。

範囲：最大値から最小値を引く

範囲は、全員を写真に収めるのに必要な横幅

次に、両端の値から求める範囲について説明します。

範囲（range） は、最大値から最小値を引いた値です。カタカナで レンジ とも言います。公式で書くと、次のようになります。

$$\text{範囲} = \text{最大値} - \text{最小値}$$

イメージは、全員を1枚の写真に収めるのに必要な横幅です。データの1つ1つを数直線の上に立つ人だと思ってください。みんなが近くに固まっていれば、写真の横幅は狭くてすみます。遠くに離れて立っている人がいれば、横幅を広げないと全員が入りません。

具体的に計算してみましょう。

【2つのクラスの範囲】

• Aクラス： 74 − 66 = 8 なので、範囲は8点
• Bクラス： 100 − 30 = 70 なので、範囲は70点

平均値は同じ70点なのに、範囲には8点と70点という大きな差が出ました。つまり、範囲が小さいほどデータはまとまっていて、範囲が大きいほどデータは散らばっています。冒頭のモヤモヤが、ようやく数字になりましたね。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。2軒のラーメン店で、5回の待ち時間を記録しました。

回	1回目	2回目	3回目	4回目	5回目
A店（分）	8	10	12	9	11
B店（分）	2	5	25	3	15

どちらも平均値は10分です。しかし、範囲はA店が 12 − 8 = 4 で4分、B店が 25 − 2 = 23 で23分です。お昼休みに行くなら、「だいたい10分」と読めるA店のほうが安心ですよね。範囲は、こうした「読みやすさ」の違いも教えてくれます。

計算で気をつけたいのは、マイナスの値が混ざるときです。例えば、冬のある日の最低気温が−3℃、最高気温が8℃なら、範囲は 8 − (−3) = 11 で11℃です。8と3を見て5℃としないようにしましょう。

例題：2つのお店の散らばりを比べる

次の表は、2つのパン屋さんの6日間の売上個数です。どちらのお店のほうが、売上個数の散らばりが大きいでしょうか？

日	1日目	2日目	3日目	4日目	5日目	6日目
北店（個）	45	52	48	50	47	58
南店（個）	30	72	41	65	38	54

【解き方】

1. 北店の最小値と最大値を探す： 最小値45個、最大値58個
2. 北店の範囲を求める： 58 − 45 = 13
3. 南店の最小値と最大値を探す： 最小値30個、最大値72個
4. 南店の範囲を求める： 72 − 30 = 42
5. 範囲を比べる： 13 より 42 のほうが大きい

答えは南店です。ちなみに、平均値はどちらも50個です。平均値だけを見ていたら、この違いには気づけません。

試験のポイント：範囲は「最大値 − 最小値」で求める1つの数です。日常の言葉のように「66点から74点まで」という区間を答えるのではなく、差の8点を答えます。

以上が、範囲についての説明です。

範囲の弱点：端の2つしか見ていない

遠くの1人のために、横幅が一気に広がる

最後に、範囲の弱点を見ていきましょう。

範囲は計算がとても簡単で、データの広がりをひと目で伝えられます。でも、これには弱点があります。

【範囲の2つの弱点】

1. 外れ値の影響をまともに受ける
2. 途中の値がどう並んでいるかは分からない

1つずつ見ていきましょう。

1. 外れ値の影響をまともに受ける

ある人の7日間の通学時間が、次のようだったとします。

20分、21分、22分、22分、23分、24分、25分

範囲は 25 − 20 = 5 で5分です。ところが、最後の日に電車が遅れて、25分が65分になったとしましょう。すると、範囲は 65 − 20 = 45 で45分になります。たった1日の出来事で、範囲が9倍になってしまいました。

写真の例えで言うと、全員が固まって立っているのに、1人だけ遠くに離れた人がいる状態です。その1人を入れるためだけに、写真の横幅を一気に広げることになります。

一方で、前回学んだ中央値は22分のまま動きません。範囲は外れ値そのものを計算に使うので、その影響をまともに受けてしまうのです。

2. 途中の値がどう並んでいるかは分からない

もう1つの弱点は、端の2つ以外の値をまったく見ていないことです。次の2つのデータを比べてください。

【範囲が同じ2つのデータ】

• データC： 10, 50, 50, 50, 50, 50, 90
• データD： 10, 20, 35, 50, 65, 80, 90

どちらも最小値は10、最大値は90なので、範囲は80です。平均値も中央値も50で同じです。それなのに、データCはほとんどの値が50に集まっていて、データDはまんべんなく広がっています。

要するに、範囲はクラスの様子を、列の先頭の人といちばん後ろの人の2人だけに聞いているようなものです。間にいる人たちのことは何も分かりません。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 度数分布表のように階級でまとめたデータでは、元の値が分からないので、最小値、最大値、範囲の正確な値は求められません。「150cm以上155cm未満の階級に2人いる」と分かっても、その2人が何cmなのかは表からは読み取れないためです。

試験のポイント：範囲は最大値と最小値だけで決まります。そのため、外れ値が1つ加わるだけで大きく変わり、範囲が同じでも散らばり方が同じとは限りません。

以上が、範囲の弱点についての解説です。

細かい計算を忘れてしまっても問題ありません。ここでは、「範囲は端から端までの長さで、端の2つしか見ていない」という点だけ押さえておきましょう。

今回のまとめ

両端の差が範囲。ただし端の2つしか見ていない

それでは、今回の内容を振り返ります。

今回はデータの散らばりを最も単純にとらえる、最小値、最大値、範囲について紹介しました。平均値が同じでも、データの広がりはまったく違うことがあります。中心を見たら、次は広がりも見る。これがデータを読むときの基本の順番です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 代表値は中心しか教えてくれない。広がりを見るには散らばりの尺度が必要。
• 最小値と最大値は、データの両端の値。天気予報の最低気温と最高気温と同じ考え方。
• 範囲は「最大値 − 最小値」。全員を写真に収めるのに必要な横幅のようなもの。
• 範囲は端の2つしか見ていないので、外れ値に弱く、途中の並びも分からない。

キーワードのおさらい

• 散らばり: データが中心のまわりにどれくらい広がっているかということ
• 最小値: データの中で最も小さい値
• 最大値: データの中で最も大きい値
• 範囲（レンジ）: 最大値から最小値を引いた値

さて、範囲は端の2つしか見ていませんでした。では、途中の値の様子まで含めて、データの広がりを表すにはどうすればよいでしょうか？

次回は、データを4等分して分布を要約する「箱ひげ図と四分位範囲」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。